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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Sa 29.05.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass in einem topologischen Raum Vereinigungen zweier abgeschlossener Mengen und beliebige Durchschnitte abgeschlossener Teilmengen ebenfalls abgeschlossen sind.
b) Es sei [mm]X :=\{1,2,3\}[/mm]. Geben Sie die Potenzmenge [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] an, und listen Sie alle Topologien auf X auf.
c) Verifizieren Sie, dass
[mm]\mathcal{T}:=\{U\subset\IR| U=\emptyset\vee #(\IR\backslash U<\infty\}\subset\mathcal{P}(\IR)[/mm]
eine Topologie auf R ist. Ist R mit dieser Topologie hausdorffsch? |
Zu a)
Ich weiß:
Eine Teilmenge [mm]U\subsetX[/mm] heißt offen, wenn U für jeden Punkt [mm]a\inU[/mm] eine Umgebung von [mm]a[/mm] ist, d.h., wenn zu jedem Punkt [mm]a\inU[/mm] ein [mm]r>0[/mm] mit [mm]B(a,r)\subsetU[/mm] existiert.
Eine Teilmenge [mm]Z\subset X[/mm] heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement [mm]X\setminus Z[/mm] offen ist.
Mein Ansatz ist nun:
1.)Vereinigung:
Seien [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwei abgeschlossene Mengen, mit [mm]A,B\inC[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]C\setminus A[/mm] und [mm]C\setminus B[/mm] sind offen
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](C\setminus A) \cap (C\setminus B)[/mm] ist offen [mm]= C\setminus (A\cup B)[/mm] ist offen
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](A\cup B)[/mm] ist abgeschlossen.
Kann ich das einfach so sagen?
2.) für den Durchschnitt: Kann ich hier analog sagen(?):
Seien [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwei abgeschlossene Mengen, mit [mm]A,B\inC[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]C\setminus A[/mm] und [mm]C\setminus B[/mm] sind offen
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](C\setminus A) \cup (C\setminus B)[/mm] ist offen [mm]= C\setminus (A\cap B)[/mm] ist offen
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](A\cap B)[/mm] ist abgeschlossen.
Beim Durchschnitt denke ich, ist das mein Ansatz nicht ganz korrekt, könnte mir da einer Tipps geben?
Zu b)
Die Potenzmenge von [mm] \{1,2,3\} [/mm] ist [mm] \{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}
[/mm]
Mein Gedanke ist, dass das hier dann die Topologien sind:
[mm] \{\emptyset,X\};
[/mm]
[mm] \{\emptyset,X,\{1\}\};\{\emptyset,X,\{2\}\};\{\emptyset,X,\{3\}\};
[/mm]
[mm] \{\emptyset,X,\{1,2\}\};\{\emptyset,X,\{1,3\}\};\{\emptyset,X,\{2,3\}\};
[/mm]
[mm] \{\emptyset,X,\{x_{1}\}\{x_{1},x_{2}\}\} [/mm] für [mm] x_{1}\not= x_{2} \in [/mm] X (6 Möglichkeiten)
[mm] \{\emptyset,X,\{x_{1}\}\{x_{2},x_{3}\}\} [/mm] für [mm] x_{1},x_{2} ,x_{3}\in [/mm] X paarweise verschieden (3 Möglichkeiten)
[mm] \{\emptyset,X,\{x_{1}\} ,\{x_{2}\} ,\{x_{1},x_{2}\}\} [/mm] für [mm] x_{1}\not= x_{2}\in [/mm] X (3 Möglichkeiten)
[mm] \{\emptyset,X,\{x_{1}\} ,\{x_{1},x_{2}\} ,\{x_{1},x_{3}\}\} [/mm] für [mm] x_{1} ,x_{2} ,x_{3} \in [/mm] X paarweise verschieden (3 Möglichkeiten)
[mm] \{\emptyset,X,\{x_{1}\} ,{x_{1}\} ,\{x_{1},x_{2}\} ,\{x_{1},x_{3}\}\} [/mm] für [mm] x_{1} ,x_{2} ,x_{3} \in [/mm] X paarweise verschieden (6 Möglichkeiten)
[mm]\mathcal{P} (x)[/mm]
Das heißt, es existieren 29 verschiedene Topologien auf X.
Ist das richtig so?
Zu c)
hier hab ich leider noch keinen Ansatz!
Vielen Dank für die Hilfe!
Lg
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:13 So 30.05.2010 | | Autor: | Ayame |
Hi :)
Ich will deine Frage nicht als beantwortet posten darum stell ich mich
als weiter Frage ein.
Also zu b) kann ich dir sagen, dass es komplett richtig ist.
Vllt solltest du (ich weiß ja nicht wie dein Tutor ist) noch mal alle Topologien ausführlich aufschreiben.
[mm] T_{1}= \{\emptyset, X, \{1\} \} [/mm] ...etc.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 01.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) Zeigen Sie, dass in einem topologischen Raum
> Vereinigungen zweier abgeschlossener Mengen und beliebige
> Durchschnitte abgeschlossener Teilmengen ebenfalls
> abgeschlossen sind.
>
> b) Es sei [mm]X :=\{1,2,3\}[/mm]. Geben Sie die Potenzmenge
> [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] an, und listen Sie alle Topologien auf X
> auf.
>
> c) Verifizieren Sie, dass
> [mm]\mathcal{T}:=\{U\subset\IR| U=\emptyset\vee #(\IR\backslash U<\infty\}\subset\mathcal{P}(\IR)[/mm]
>
> eine Topologie auf R ist. Ist R mit dieser Topologie
> hausdorffsch?
> Zu a)
> Ich weiß:
> Eine Teilmenge [mm]U\subsetX[/mm] heißt offen, wenn U für jeden
> Punkt [mm]a\inU[/mm] eine Umgebung von [mm]a[/mm] ist, d.h., wenn zu jedem
> Punkt [mm]a\inU[/mm] ein [mm]r>0[/mm] mit [mm]B(a,r)\subsetU[/mm] existiert.
> Eine Teilmenge [mm]Z\subset X[/mm] heißt abgeschlossen, wenn ihr
> Komplement [mm]X\setminus Z[/mm] offen ist.
>
> Mein Ansatz ist nun:
>
> 1.)Vereinigung:
> Seien [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwei abgeschlossene Mengen, mit [mm]A,B\inC[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]C\setminus A[/mm] und [mm]C\setminus B[/mm] sind
> offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](C\setminus A) \cap (C\setminus B)[/mm]
> ist offen [mm]= C\setminus (A\cup B)[/mm] ist offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](A\cup B)[/mm] ist abgeschlossen.
> Kann ich das einfach so sagen?
Wenn Du verwenden darfst, dass der Durchschnitt von 2 offenen Mengen offen ist, ja
>
> 2.) für den Durchschnitt: Kann ich hier analog sagen(?):
> Seien [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwei abgeschlossene Mengen, mit [mm]A,B\inC[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]C\setminus A[/mm] und [mm]C\setminus B[/mm] sind
> offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](C\setminus A) \cup (C\setminus B)[/mm]
> ist offen [mm]= C\setminus (A\cap B)[/mm] ist offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](A\cap B)[/mm] ist abgeschlossen.
> Beim Durchschnitt denke ich, ist das mein Ansatz nicht
> ganz korrekt, könnte mir da einer Tipps geben?
Du mußt zeigen: ist [mm] (A_i)_{i \in I} [/mm] eine Familie abgeschlossener Mengen (I eine Indexmenge), so ist auch
[mm] \bigcap_{i \in I}^{}A_i
[/mm]
abgeschlossen.
FRED
>
> Zu b)
> Die Potenzmenge von [mm]\{1,2,3\}[/mm] ist [mm]\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}[/mm]
>
> Mein Gedanke ist, dass das hier dann die Topologien sind:
>
> [mm]\{\emptyset,X\};[/mm]
>
> [mm]\{\emptyset,X,\{1\}\};\{\emptyset,X,\{2\}\};\{\emptyset,X,\{3\}\};[/mm]
>
> [mm]\{\emptyset,X,\{1,2\}\};\{\emptyset,X,\{1,3\}\};\{\emptyset,X,\{2,3\}\};[/mm]
> [mm]\{\emptyset,X,\{x_{1}\}\{x_{1},x_{2}\}\}[/mm] für [mm]x_{1}\not= x_{2} \in[/mm]
> X (6 Möglichkeiten)
> [mm]\{\emptyset,X,\{x_{1}\}\{x_{2},x_{3}\}\}[/mm] für [mm]x_{1},x_{2} ,x_{3}\in[/mm]
> X paarweise verschieden (3 Möglichkeiten)
> [mm]\{\emptyset,X,\{x_{1}\} ,\{x_{2}\} ,\{x_{1},x_{2}\}\}[/mm] für
> [mm]x_{1}\not= x_{2}\in[/mm] X (3 Möglichkeiten)
> [mm]\{\emptyset,X,\{x_{1}\} ,\{x_{1},x_{2}\} ,\{x_{1},x_{3}\}\}[/mm]
> für [mm]x_{1} ,x_{2} ,x_{3} \in[/mm] X paarweise verschieden (3
> Möglichkeiten)
> [mm]\{\emptyset,X,\{x_{1}\} ,{x_{1}\} ,\{x_{1},x_{2}\} ,\{x_{1},x_{3}\}\}[/mm]
> für [mm]x_{1} ,x_{2} ,x_{3} \in[/mm] X paarweise verschieden (6
> Möglichkeiten)
> [mm]\mathcal{P} (x)[/mm]
>
> Das heißt, es existieren 29 verschiedene Topologien auf
> X.
>
> Ist das richtig so?
>
>
> Zu c)
> hier hab ich leider noch keinen Ansatz!
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
> Lg
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