teilweise geordnete Mengen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Ersty |
wieso ist (N,|)
"|" Teilbarkeit, d.h.
a|b <=> a teilt b geordnet, aber nicht vollständig geordnet?
Vielen Dank im Voraus,
mfg Ersty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Ersty |
Eine Relation [mm] \le [/mm] heißt vollständige Ordnung auf A, wenn je 2 Elemente von A mit [mm] \le [/mm] vergleichbar sind. Ist die Definition.
Heißt dass, dass ich in den nat. Zahlen die Ergebnisse a|b nicht miteinander vergleichen kann?
1|2 ist nicht [mm] \le [/mm] als 3|4???? HÄH? 
würde mich sehr über eine Rückmeldung freuen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 So 08.11.2009 | | Autor: | kster |
Du betrachtest hier nicht die "kleiner gleich" Relation, das Zeichen ist nur ein allgemeiner Bezeichner für eine Relation. In deinem Beispiel ist dies die Teilbarkeit. Die natürlichen Zahlen sind keine Totalordnung, da du zahlenpaare a,b findest kannst für die weder a|b noch b|a findest.
Für die Ordnung musst du deine gegebenen Bedingungen durchgehen. Für eine Halbordnung sind dies Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie. Aber guck mal lieber in deine Definition und zeige das was dort gefordert ist.
MfG,
kster
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> Eine Relation [mm]\le[/mm] heißt vollständige Ordnung auf A, wenn
> je 2 Elemente von A mit [mm]\le[/mm] vergleichbar sind. Ist die
> Definition.
> Heißt dass, dass ich in den nat. Zahlen die Ergebnisse
> a|b nicht miteinander vergleichen kann?
> 1|2 ist nicht [mm]\le[/mm] als 3|4???? HÄH?
>
> würde mich sehr über eine Rückmeldung freuen
Du verwechselst da offenbar etwas.
Mit 1|2 ist nicht der Bruch [mm] 1/2=\frac{1}{2} [/mm] gemeint,
sondern die Aussage "1 ist ein Teiler von 2"
bzw. "2 ist ganzzahlig und ohne Rest durch 1
teilbar"
3|4 ist nicht der Bruch [mm] \frac{3}{4} [/mm] , sondern die Aussage
"3 ist ein Teiler von 4", welche falsch ist.
LG
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> wieso ist (N,|)
> "|" Teilbarkeit, d.h.
> a|b <=> a teilt b geordnet, aber nicht vollständig
> geordnet?
Hallo Ersty,
Betrachte zuerst mal ein Beispiel mit einer endlichen
Menge unter der Teilbarkeitsrelation. Ich empfehle
dir dazu die Menge aller (positiven, ganzzahligen)
Teiler der Zahl 60. Diese Menge hat 12 Elemente.
Stelle diese 12 Elemente als Punkte und die Teilbar-
keitsrelation "a ist Teiler von b" durch Pfeile zwischen
den entsprechenden Punkten dar. Und dann nimm
dir die Definition vor, unter welchen Bedingungen
eine Relation eine (Halb-)Ordnung bzw. eine voll-
ständige Ordnung ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 08.11.2009 | | Autor: | Ersty |
Danke, der Tipp ist gut:
M = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} wäre dann die Menge aller Teiler von 60.
wenn ich das richtig verstehe, ist der Unterschied in der Def. von Halbordnung und vollständiger Ordnung - nennt man diese auch Totalordnung?- nur darin festgelegt, dass in einer vollständig geordneten Menge, 2 Elemente vergleichbar sein müssen.
In dieser Aufgabe müsste das dann "a ist Teiler von b" sein.
Jetzt ist meine Frage: müssen alle Elemente vergleichbar sein bei einer Totalordnung - in unserer Definiton steht nur "wenn je 2 Elemente mit [mm] \le [/mm] [hier ja "|"] vergleichbar sind"- ?
Wenn dem so wäre, dann hätte ich einen Widerspruch, bei z.B. "3 ist Teiler von 4".
Vielen vielen Dank für den Tipp mit dem konkreten Beispiel, kann ich mir sehr gut vorstellen, vor allem durch das Aufmalen mit den Pfeilen! Echt gut!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 08.11.2009 | | Autor: | Ersty |
Ich will zeigen dass die Menge M (siehe oben), eine teilweise geordnete Menge darstellt.
1. reflexiv: jede der 12 Elemente ist Teiler von sich selbst, also ist die Reflexivität erfüllt. - man muss doch zeigen, dass dies für alle Elemente der Gruppe gilt, oder reicht es für 1 Element zu zeigen? [ist ne ganz generelle Frage]
2. antisymmetrisch: (a ist Teiler von b und b ist Teiler von a, wenn a=b ist)
ist klar, siehe reflexivität.
3. transitiv: (Ist a Teiler von b, b Teiler von c, dann ist a Teiler von c)
ist auch erfüllt, ich habs durch ausprobieren hinbekommen, wie weist man das aber generell nach?
einfachstes Beispiel: ist 1 Teiler von 2, 2 Teiler von 4, dann ist 1 Teiler von 4.
5 ist Teiler von 10, 10 ist Teiler von 20, 5 ist Teiler von 20
usw....
Damit wären alle Forderungen nachgewiesen und es liegt eine Halbordnung vor.
Es ist keine Totalordnung, weil nicht jedes Element in der Menge M Teiler von einem anderen Element ist, z.B. ist 2 kein Teiler von 15, zumindest nicht in den natürlichen Zahlen.
Habe ich das richtig gesagt?
Vielen Dank!
mfG
Ersty
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> Ich will zeigen dass die Menge M (siehe oben), eine
> teilweise geordnete Menge darstellt.
>
> 1. reflexiv: jede der 12 Elemente ist Teiler von sich
> selbst, also ist die Reflexivität erfüllt. - man muss
> doch zeigen, dass dies für alle Elemente der Gruppe gilt,
> oder reicht es für 1 Element zu zeigen? [ist ne ganz
> generelle Frage]
Es muss für alle Elemente der Menge gezeigt werden.
Im vorliegenden Fall ist dies leicht, denn für jede Zahl
[mm] n\in\IN [/mm] (also auch für jedes [mm] n\in [/mm] M) gilt n=1*n, also
ist definitionsgemäss n Teiler von n.
Übrigens ist M hier keine "Gruppe" im mathematischen
Sinn.
> 2. antisymmetrisch: (a ist Teiler von b und b ist Teiler
> von a, wenn a=b ist)
> ist klar, siehe reflexivität.
Nein, so ist es noch nicht ganz klar. Es geht darum,
dass a|b und b|a nur dann möglich ist, wenn a=b .
> 3. transitiv: (Ist a Teiler von b, b Teiler von c, dann ist
> a Teiler von c)
> ist auch erfüllt, ich habs durch ausprobieren
> hinbekommen, wie weist man das aber generell nach?
a|b bedeutet: es gibt ein [mm] k\in\IN [/mm] mit $\ b=k*a$
b|c bedeutet: es gibt ein [mm] i\in\IN [/mm] mit $\ c=i*b$
Aus a|b [mm] \wedge [/mm] b|c folgt deshalb, dass es solche i und k
gibt, und man kann schließen:
$\ c=i*b=i*(k*a)=(i*k)*a=j*a$ mit [mm] j=i*k\in\IN
[/mm]
also ist c ein Vielfaches von a oder eben a ein Teiler von c.
> Damit wären alle Forderungen nachgewiesen und es liegt
> eine Halbordnung vor.
>
> Es ist keine Totalordnung, weil nicht jedes Element in der
> Menge M Teiler von einem anderen Element ist, z.B. ist 2
> kein Teiler von 15, zumindest nicht in den natürlichen
> Zahlen.
>
> Habe ich das richtig gesagt?
nicht ganz ...
richtig wäre: Es gibt Zahlenpaare [mm] (a,b)\in M\times{M},
[/mm]
für die weder a|b noch b|a gilt, wie z.B. das Paar (2,15)
oder (12,30).
> Vielen Dank!
> mfG
> Ersty
LG Al-Chw.
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> Danke, der Tipp ist gut:
> M = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} wäre dann die Menge
> aller Teiler von 60.
>
> wenn ich das richtig verstehe, ist der Unterschied in der
> Def. von Halbordnung und vollständiger Ordnung - nennt man
> diese auch Totalordnung?
es gibt auch noch den Begriff "vollständige Halbordnung",
der nicht mit "totaler Ordnung" übereinstimmt ...
- nur darin festgelegt, dass in
> einer vollständig geordneten Menge, 2 Elemente
> vergleichbar sein müssen.
> In dieser Aufgabe müsste das dann "a ist Teiler von b"
> sein.
Nicht ganz, sondern: Für beliebige a,b ist a Teiler von
b oder b Teiler von a (oder beides zusammen).
> Jetzt ist meine Frage: müssen alle Elemente vergleichbar
> sein bei einer Totalordnung - in unserer Definiton steht
> nur "wenn je 2 Elemente mit [mm]\le[/mm] [hier ja "|"] vergleichbar
> sind"- ?
> Wenn dem so wäre, dann hätte ich einen Widerspruch, bei
> z.B. "3 ist Teiler von 4".
Es ist weder 3|4 noch 4|3 . Daran sieht man, dass die
Teilerrelation keine Totalordnung sein kann.
> Vielen vielen Dank für den Tipp mit dem konkreten
> Beispiel, kann ich mir sehr gut vorstellen, vor allem durch
> das Aufmalen mit den Pfeilen! Echt gut!!!
(das sind halt so meine Q-Ansprüche ...)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 So 08.11.2009 | | Autor: | Ersty |
Vielen Dank!!!
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