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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Di 23.10.2007 | | Autor: | homiena |
| Aufgabe | Seien A, B Mengen.
Wenn [mm] A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset,
[/mm]
dann gilt: A [mm] \subset \overline{B} [/mm] .
2. Seien A, B Mengen.
Wenn [mm] A\cap [/mm] B = A,
dann gilt: A [mm] \subset [/mm] B.
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ich kann des ganze schon beweisen, also ich weiß dass es so ist und kann es auch grafisch zeigen, aber ich weiß nicht wie ich es hinschreiben soll
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo homiena,
m.E. kannst du beide Aufgaben recht "einfach" und elegant per indirekten Beweis zeigen:
(a) Beh.: [mm] $A\cap B=\emptyset\Rightarrow A\subset \overline{B}$
[/mm]
Bew.: Sei [mm] $A\cap B=\emptyset$
[/mm]
zu zeigen ist: [mm] $A\subset \overline{B}$
[/mm]
dazu müssen wir zeigen, dass gilt: [mm] $x\in A\Rightarrow x\in\overline{B}$ [/mm] gilt
Nehmen wir also ein [mm] $x\in [/mm] A$ her
Nun indirekt: Annahme: [mm] $x\notin\overline{B}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $x\in [/mm] B$
Also haben wir [mm] $x\in A\wedge x\in B\Rightarrow x\in A\cap [/mm] B$
WIDERSPRUCH zu [mm] $A\cap B=\emptyset$ [/mm] , also Annahme falsch und es muss [mm] $x\in\overline{B}$ [/mm] sein
Und damit [mm] $A\subset\overline{B}$
[/mm]
Die zweite geht ganz ähnlich - versuch's mal
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Di 23.10.2007 | | Autor: | homiena |
danke, kann ich dann in der zweiten schreiben dass [mm] x\in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B ist und da die Schnittmenge nur A ist folgt daraus dass [mm] x\in [/mm] A und daraus folgt dann dass A teilmenge von B ist . oder ist das zu kurz?
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Hi nochmal,
> danke, kann ich dann in der zweiten schreiben dass [mm]x\in[/mm] A
> und x [mm]\in[/mm] B ist und da die Schnittmenge nur A ist folgt
> daraus dass [mm]x\in[/mm] A
das ist sogar ne Äquivalenz, denn [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \red{=} [/mm] A$
>und daraus folgt dann dass A teilmenge
> von B ist . oder ist das zu kurz?
Hmm, jein 
Ne formale Begrüngung wäre ganz gut, deine ist etwas "knapp"
zz ist [mm] $A\cap [/mm] B$
Wieder indirekt: Sei [mm] $x\in [/mm] A$ und nimm an, dass [mm] $x\notin [/mm] B$ sei.
wie siehts dann mit $x$ und dem Schnitt [mm] $A\cap [/mm] B$ aus??
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 23.10.2007 | | Autor: | homiena |
also wenn [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] B....
Das kann doch gar nicht sein, oder? also ich stell dann fest dass [mm] x\not\in A\cup [/mm] B....
ich schließ zwar dann daraus dass A eine Teilmenge von B sein muss, aber warum kann ich nicht erklären....
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Hi,
> also wenn [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] B.... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das kann doch gar nicht sein, oder?
genau!
>also ich stell dann
> fest dass [mm]x\not\in A\cup[/mm] B....
> ich schließ zwar dann daraus dass A eine Teilmenge von B
> sein muss, aber warum kann ich nicht erklären....
Na, wir mussten doch zeigen, dass [mm] $A\subset [/mm] B$
dh zu zeigen ist [mm] $x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$
so ist ja [mm] "\subset" [/mm] definiert
Sei also [mm] $x\in [/mm] A$
Dann kann ja nur entweder [mm] $x\in [/mm] B$ oder [mm] $x\notin [/mm] B$ sein, mehr Möglichkeiten gibt's nicht
Also haben wir geschaut, was passiert, wenn [mm] $x\notin [/mm] B$ ist
Dann ist [mm] $x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\notin A\cap [/mm] B=A$
Also [mm] $x\in A\wedge x\notin [/mm] A$ Das kann nicht recht sein..
WIDERSPRUCH.
Also führt der Fall [mm] $x\notin [/mm] B$ zum Widerspruch
da bleibt doch nur noch [mm] $x\in [/mm] B$ als Möglichkeit
Also haben wir gezeigt [mm] $x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$
Was nichts anderes bedeutet als [mm] $A\subset [/mm] B$
LG
schachuzipus
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