taylorpolynom und konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:56 Di 09.01.2007 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | Bestimmen sie zu:
[mm] f:[-2,\bruch{1}{2}] \to\IR [/mm] mit [mm] x\mapsto\bruch{1}{1-x}
[/mm]
das n-te Taylorpolynom [mm] T_{n} [/mm] mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] und untersuchen sie das Konvergenzverhalten von [mm] (f-T_{n})(x) [/mm] für [mm] n\to\infty. [/mm] |
hallo
und nochmal habe ich problem mit Taylorpolynom aber diesmal mit konvergenz, das Taylorpolynom sieht bei mir so aus: [mm] T_{n}=1+\summe_{i=1}^{n}(\bruch{x^{i}}{(1-i)!}) [/mm] (is ok oder?)
nun aber zu zu dem begrabenem hund- konvergenz. hier weiss ich überhaupt nicht wie soll ich diesen so entstandenen polynom prüfen- hab mir gedacht vielleicht mit Restgliedformeln, aber bekomme ich sowieso ein polynom, also... HILFE!!!
danke im voraus toggit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Di 09.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Deine Taylorreihe ist (fast) die abgeschnittene Exponentialreihe, aber [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] hat nicht viel mit der Exponentialfunktion zu tun! Versuchs mal mit der Summenformel für die geometrische Reihe. Die Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung einer analytischen Funktion liefert dann die Taylorreihe(=geometrische Reihe) gratis. Gruß, Volker.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 Di 09.01.2007 | | Autor: | toggit |
ok also habe ich jetzt:
[mm] (f-T_{n})(x)=\bruch{1}{1-x}-1-x*e^x,
[/mm]
da die Taylorpolynom [mm] T_{n}=$ T_{n}=1+\summe_{i=1}^{n}(\bruch{x^{i}}{(i-1)!}) $=1+x*e^x
[/mm]
weil [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{x^{i}}{(i-1)!})=x*\summe_{i=1}^{n-1}(\bruch{x^{i}}{i!}) =x*e^{x} [/mm] ,für [mm] n\to \infty \summe_{i=1}^{n-1}(\bruch{x^{i}}{i!})=e^{x} [/mm] (ok, oder?)
aber zu konvergenz: da ich schon weis wie die funktionen: [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] und [mm] -x*e^x [/mm] aussehen- kann ich sagen dass: [mm] (f-T_{n})(x) [/mm] ist stetig wachsend, und hat minimum in x=-2 und maximum in [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] ABER wie schreibe ich das formal aus???
habe schon mit ableitungen probiert aber ohne grosseren erfolg
hat jemand ne idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 12.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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