taylorformel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Do 16.04.2009 | | Autor: | zolushka |
hallo alle miteinander,
ich habe ein Verständnis -Problem, warum Taylorformel funktioniert...
ich meine,,...
erste Ableitung gibt die Tangente der Funktion in einem bestimmten Punkt an, so hat man eine Annäherung der Funktion an einem Punkt, aber was gibt die zweite Ableitung an????
etwa eine Annäherung der Tangente in einem bestimmten Punkt?
analog weiter die n-te Ableitung die Approximation der Kurve, die durch die n-1 te Ableitung gegebene Funktion?
warum funktioniert diese Taylorformel, welchen Sinn hat es .. ??
ich wäre sehr dankbar für eine einfache Erklärung
mit freundlichen Grüssen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 16.04.2009 | | Autor: | biic |
hi.
die zweite ableitung gibt dir die informationen, ob und wo sich die funktion konvex bzw konkav verhält. was die dritte macht fällt mir spontan auch nicht ein ;)
DASS es mit zunehmenden n aber besser wird kannst du dir zB mal ![[]](/images/popup.gif) hier angucken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Fr 17.04.2009 | | Autor: | zolushka |
Vielen DAnk!
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Hallo!
Mit der ersten Ableitung bekommst du eine Steigung, die zusammen mit dem Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] eine Tangente an die Funktion in [mm] x_0 [/mm] ergibt.
Nimmst du die zweite Ableitung dazu, bekommst du eine Parabel, die deine Funktion bei [mm] x_0 [/mm] berührt. Die schmiegt sich schon besser an die Rundung deiner Funktion an, entfernt sich aber etwas weiter weg sehr rasch von der Funktion.
Dem kannst du mit der dritten Ableitung entgegen wirken, dadurch bekommst du einen kubischen Teil hinzu, der die Funktion bei [mm] x_0 [/mm] noch besser beschreibt.
Mit jedem weiteren Summanden der Taylor-Entwicklung erreichst du also zwei Dinge: erstens wird die Näherung um [mm] x_0 [/mm] der wahren Funktion immer ähnlicher, der Fehler bzw Unterschied wird immer kleiner. Zweitens verschiebt sich die Stelle, ab der die Näherung "so richtig abhaut", immer weiter, sodaß der Bereich um [mm] x_0, [/mm] innerhalb dessen du die Taylor-Entwicklung statt der wahren Funktion benutzten kannst, immer größer wird. Das ist das erklärte Ziel der Taylor-Funktion (das aber nicht immer bis über alle Grenzen erreicht wird. Stichwort Konvergenzradius)
Es gibt aber auch noch andere Verfahren der Näherung. Bei den Legendre-Polynomen geht es zwar auch darum eine Funktion durch Polynome anzunähern, allerdings mit dem Ziel, dies auf einem bestimmten Intervall überall gleich gut zu machen.
Während du bei Taylor schon mit sehr kurzen Polynomen eine recht präzise Näherung um den Entwicklungspunkt bekommst, sind kurze Legendre-Polynome eher unpräzise, dafür aber über einen weiten Bereich, innerhalb dessen sich eine kurze Taylorentwicklung schon Meilen von der wahren Funktion entfernt hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Fr 17.04.2009 | | Autor: | zolushka |
Vielen Dank!
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