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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:35 Do 15.05.2008 | | Autor: | toros |
| Aufgabe | Es ist das Potential
[mm] U=\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}^N\phi\left(\vec{R}_i-\vec{R}_j+\vec{u}\left(\vec{R}_i\right)-\vec{u}\left(\vec{R}_j\right)\right)
[/mm]
gegeben. Wenn alle [mm] \vec{u}\left(\vec{R}\right) [/mm] klein sind, dann kann man U in eine Taylor-Reihe entwickeln. [mm] \phi [/mm] ist explizit gegeben durch
[mm] \phi\left(\vec{r}\right)=\sum_{i\neq j}^N\left(\frac{1}{\left|\vec{r}\right|^3}-\frac{3\left(z_i-z_j\right)^2}{\left|\vec{r}\right|^5}\right)=\sum_{i\neq j}^N\left(\frac{1}{r^3}-\frac{3\left(z_i-z_j\right)^2}{r^5}\right),
[/mm]
wobei [mm] \vec{r}=\vec{R}_i [/mm] - [mm] \vec{R}_j [/mm] und [mm] r=|\vec{r}| [/mm] ist.
Berechnen Sie die zweite und die dritte Ordnung der Taylorentwicklung! |
Hallo community,
ich hab mit Hilfe von
[mm] r=\left(\sum_{\kappa}r_{\kappa}^2\right)^{1/2}
[/mm]
[mm] \frac{\partial r}{\partial r_{\nu}}=r_{\nu}\left(\sum_{\kappa}r_{\kappa}^2\right)^{-1/2}=\frac{r_{\nu}}{r}
[/mm]
die zweite Ordnung der Taylorentwicklung berechnet:
[mm] U_{2.te\text{ }Ordnung}=\frac{1}{4}\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\left[u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\mu}\left(\vec{R}_j\right)\right]\phi_{\mu\nu}\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\left[u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right],
[/mm]
wobei
[mm] \phi_{\mu\nu}\left(\vec{r}\right)=\frac{\partial \phi(\vec{r})}{\partial r_{\mu}\partial r_{\nu}}=3\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\left[\frac{5r_{\mu}r_{\nu}}{r^7}-\frac{\delta_{\mu\nu}}{r^5}+\frac{5\left(z_i-z_j\right)^2\delta_{\mu\nu}}{r^7}-\frac{35\left(z_i-z_j\right)^2r_{\mu}r_{\nu}}{r^9}\right]
[/mm]
ist.
Kann mir bitte einer einen Tipp geben, wie man die dritte Ordnung berechnet??
UPDATE:
Ich hab die dritte Ordnung berechnet:
[mm] U_{3.te\text{ }Ordnung}=\frac{5}{4}\sum_{\substack{i\neq j}}^{N}\left[\frac{3\vec{r}}{r^7}-\frac{7\vec{r}^3}{r^9}-7\left(z_i-z_j\right)^2\left(\frac{3\vec{r}}{r^9}-\frac{9\vec{r}^3}{r^{11}}\right)\right]\left[\vec{u}\left(\vec{R}_i\right)-\vec{u}\left(\vec{R}_j\right)\right]^3
[/mm]
Kann mir einer bitte sagen, ob meine Berechnung richtig ist?
Danke!
Gruss toros
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 17.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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