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| Aufgabe | [mm] z=e^x-2y
[/mm]
Bestimmen Sie die Taylor-Reihe um den Punkt x=0 und y=0 in linearer Näherung! |
Wie soll denn DAS gehen, mit zwei Variablen? Hab leider keinen Plan und krieg das auch nicht gegoogelt....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]z=e^x-2y[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Taylor-Reihe um den Punkt x=0 und y=0 in
> linearer Näherung!
> Wie soll denn DAS gehen, mit zwei Variablen? Hab leider
> keinen Plan und krieg das auch nicht gegoogelt....
Komisch ... ? Wenn ich das "Satz von Taylor mehrere Var." bei Google eingebe werde ich geradezu überschüttet
FRED
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mit "krieg ich nicht gegoogelt" meinte ich ja auch sinngemäß, dass ich NICHTS WAS MIR HILFT finde
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Hallo Mathe-Frager!
Wie wäre es denn ![[]](/images/popup.gif) hiermit?
Gruß vom
Roadrunner
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...aber raff ich leider nicht, was sollen den zwei summenzeichen hintereinander? und dann noch das bittere beispiel OHNE zahlen, anstatt mal einfach stumpf irgendeine funktion zu nehmen und zu "taylorn" !
hast Du vielleicht ein zahlenbeispiel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mathefrager!
Du musst hier die Formel $f(x,y) \ [mm] \approx [/mm] \ ...$ verwenden. Und dafür brauchst Du wirklich nur die partiellen Ableitungen bestimmen und einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Und dafür brauchst Du wirklich nur die partiellen Ableitungen bestimmen und einsetzen.
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...heißt das, mit [mm] f_x [/mm] (a,b) ist in dem Artikel die partielle Ableitung nach x gemeint? Falls ja: muss ich dieses dx dann mit hinschreiben??
Für die Funktion f(x,y)=e^(x-2y) käme ich da dann auf:
[mm] f(x,y)=e^{0-2*0}+(x-0)*e^x+ [/mm] (y-0)*2 für a=0 und b=0 , wenn ich dx bzw dy weglasse, stimmt das?
(sitze jetzt ÜBER 4 (VIER!) stunden an dieser sch....aufgabe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da soll ein Polynom sein, [mm] e^x [/mm] darin ist falsch, das Vorzeichen von y auch,was ist [mm] f_y(0,0)? [/mm] .
Es wird übersichtlicher wenn du statt (x-0) x schreibst!
und mit dx hat das doch nix zu tun, wie kommst du darauf?
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Da soll ein Polynom sein, $ [mm] e^x [/mm] $ darin ist falsch, das Vorzeichen von y auch,was ist [mm] f_y(0,0)? [/mm] |
guuuut, dann kommt raus: f(x,y)= 1+x+2y , richtig?
warum ist das Vorzeichen bei y falsch? und was [mm] f_y [/mm] (0,0) ist weiß ich grad nicht, bin grade eben aufgewacht (im sitzen über der Aufgabe eingepennt-die aufgabe macht mich MORSCH, echt ;)
Bitte hilf
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Hallo Mathefrager,
> Da soll ein Polynom sein, [mm]e^x[/mm] darin ist falsch, das
> Vorzeichen von y auch,was ist [mm]f_y(0,0)?[/mm]
> guuuut, dann kommt raus: f(x,y)= 1+x+2y , richtig?
Das muss hier lauten:
[mm]f(x,y)= 1+x\red{-}2y[/mm]
> warum ist das Vorzeichen bei y falsch? und was [mm]f_y[/mm] (0,0)
Nun, die partielle Ableitung nach y ist:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ e^{x-2y} \ \right)= \left( \ \bruch{\partial}{\partial y}\left(x-2y\right) \ \right)e^{x-2y} = -2e^{x-2y}[/mm]
Für x=y=0 ergibt sich somit [mm]f_{y}\left(0,0\right)=-2e^{0-2*0}=-2[/mm]
> ist weiß ich grad nicht, bin grade eben aufgewacht (im
> sitzen über der Aufgabe eingepennt-die aufgabe macht mich
> MORSCH, echt ;)
> Bitte hilf
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | JUHUUU!! Hab´s begriffen.....Viiiielen Dank!!! |
Die kleine Frage:
wenn bei z=e^(x-2y) für x=cos(wt) und für y=sin(wt) eingesetzt wird, dann ist die totale Ableitung (dann ja nur nach t als einziger Variable) doch:
-sin(wt)w-2sin(wt)e^(cos(wt)-2sin(wt)) , oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da fehlen Klammern, wies dasteht ist falsch, aber vielleicht richtig gemeint.
(Hochzahlen in geschweifte Klammern setzen, macht das ganze viel leserlicher. also:
[mm] e^{(cos(wt)-2sin(wt))}
[/mm]
Gruss leduart
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...hat mir geholfen, gleich ist Abgabe!
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| Aufgabe | jetzt seh ich erst : f_xy (a,b) -- was soll denn DAS sein?
bei f_xx (a,b) denk ich mal an die zweite Ableitung nach x , oder? |
f_xy (a,b) kann ja irgendwie schlecht eine partielle Ableitung sein, oder?
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> jetzt seh ich erst : f_xy (a,b) -- was soll denn DAS sein?
> bei f_xx (a,b) denk ich mal an die zweite Ableitung nach x
> , oder?
> f_xy (a,b) kann ja irgendwie schlecht eine partielle
> Ableitung sein, oder?
[mm] f_{xy} [/mm] heisst erst nach x ableiten, dann nach y. bsp: [mm] f(x;y)=2x^2*y
[/mm]
[mm] f_x=4xy
[/mm]
[mm] f_{xy}=4x
[/mm]
gruß tee
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...warum die des bei Wiki nicht einfach mal dazuschreiben können, echt!
Genauso hätts da auf chinesisch stehen können ;)
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> [mm]z=e^x-2y[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Taylor-Reihe um den Punkt x=0 und y=0 in
> linearer Näherung!
> Wie soll denn DAS gehen, mit zwei Variablen? Hab leider
> keinen Plan und krieg das auch nicht gegoogelt....
Hallo David,
wie ginge es denn, wenn du nur eine Variable hättest, also
etwa
[mm] z(x)=e^x [/mm] oder [mm] z(x)=e^x-2x [/mm] (um die Stelle [mm] x_0=0)
[/mm]
oder
$\ z(y)=5-2y$ oder $\ z(y)=sin(y)-cos(y)$ (um die Stelle [mm] y_0=0)
[/mm]
LG Al-Chw.
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..das wär dann wohl: [mm] f(x)=e^0-0+(e^0-2)x+e^0*0,5*x^2+e^0*x^3+.....
[/mm]
oder?
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> ..das wär dann wohl:
> [mm]f(x)=e^0-0+(e^0-2)x+e^0*0,5*x^2+e^0*x^3+.....[/mm]
>
> oder?
und was ist denn [mm] e^0 [/mm] ?
Das Glied mit [mm] x^3 [/mm] stimmt übrigens nicht. Für die lineari-
sierte Funktion spielt das zwar nicht mal eine Rolle.
LG
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| Aufgabe | [mm] e^0=1 [/mm] , d.h. [mm] f(x)=1-x+0,5x^2+ \bruch{1}{6}x^3+.....
[/mm]
aber mit zwei (ist ja dann eine fläche) kann ich´s mir immer noch nicht vorstellen, sorry! |
oder rechnet man es für beide getrennt aus und addiert dann stumpf?
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> [mm]e^0=1[/mm] , d.h. [mm]f(x)=1-x+0,5x^2+ \bruch{1}{6}x^3+.....[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lineare Näherung, also Taylorpolynom 1. Ordnung:
[mm] T_1(x)=1-x
[/mm]
( ergibt die Tangente im Punkt [mm] P_0(0/1) [/mm] )
> aber mit zwei (ist ja dann eine fläche) kann ich´s mir
> immer noch nicht vorstellen, sorry!
> oder rechnet man es für beide getrennt aus und addiert
> dann stumpf?
In deinem (sehr einfachen!) Beispiel [mm] z=f(x,y)=e^x-2\,y
[/mm]
geht dies tatsächlich so:
[mm] z=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+.....\right)-2\,y
[/mm]
[mm] T_1(x,y)=1+x-2\,y [/mm] (Gl. der Tangentialebene)
Etwas schwieriger wird's, wenn auch gemischte Terme
vorkommen, beispielsweise
$\ f(x,y)=(3-sin(x))*(1+sin(x+y))$
Wenn man hier ebenfalls die Taylorentwicklung um den
Nullpunkt macht und dann nur die in x und y linearen
Terme berücksichtigt, kommt man auf
[mm] T_1(x,y)=3+2\,x+3\,y [/mm] (Gl. der Tangentialebene)
Wenn man alle Terme bis zur 2. Ordnung berücksichtigt,
also auch die Terme mit [mm] x^2 [/mm] , [mm] y^2 [/mm] , $\ x*y$ , so ergibt sich
[mm] 3+2\,x+3\,y-x^2-x\,y
[/mm]
Dieser Term beschreibt eine Quadrikfläche (in diesem
Fall ein hyperbolisches Paraboloid), welches sich im
Punkt (0/0/3) an die ursprüngliche Fläche schmiegt.
LG
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| Aufgabe | Erstmal Viiielen Dank!
War leider zu blöd die Aufgabe richtig reinzustellen, eigentlich heißts:
z=e^(x-2y)
Ich versuch das jetzt mal mit den neuen Erkenntnissen! |
Letztendlich geht´s sicher wie Dein zweites Beispiel, dem "gemischten" Ausdruck, richtig?
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