matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionentanh / artanh
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Funktionen" - tanh / artanh
tanh / artanh < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

tanh / artanh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mi 23.01.2008
Autor: Zerwas

Aufgabe
Man beweise:
Dir Funktion tanh: [mm] \IR\rightarrow\IR [/mm] ist streng monoton wachsend und bildet [mm] \IR [/mm] bijektiv auf (-1,1) ab.
Die Umgekrfunktion Artanh: [mm] (-1,1)\rightarrow\IR [/mm] ist differenzierbar. Man berechne die Ableitung.

Zuerst fange ich einmal mit der Monotonie an.
D.h. es muss gelten: f(a) < f(b) für a <  also f(a)-f(b) > 0

[mm] tanh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{2}{e^{2x}+1} [/mm]

Setze nun b = a+h für ein [mm] h\in\IR_+: [/mm]
tanh(a)-tanh(a+h) = 1 - [mm] \bruch{2}{e^{2a}+1} [/mm] - (1 - [mm] \bruch{2}{e^{2(a+h)}+1}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{e^{2(a+h)}+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{e^{2a}+1} [/mm] = ...

Könnte mir hier evtl. jmd auf die sprünge helfen wie weiter?



die Umkehrfunktion ableiten:

[mm] artanh'(x)=\bruch{1}{tanh'(artanh(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{cosh^2(artanh(x))}} [/mm] = [mm] cosh^2(artanh(x)) [/mm] = [mm] cosh^2(\bruch{arsinh(x)}{arcosh(x)} [/mm]

und jetzt wie weiter? ich hätte ja jetzt cosh und arcosh die sich gegeneinandern aufheben aber wie bringe ich die beiden funktionen zueinander? letztlich will ich ja als ergebniss haben [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm]

Danke und Gruß Zerwas

Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
tanh / artanh: zur Monotonie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Mi 23.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Zerwas!


Bilde doch die Ableitung von [mm] $\tanh(x)$ [/mm] und zeige, dass diese im gegebenen Intervall $> \ 0$ ist.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
tanh / artanh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Mi 23.01.2008
Autor: Zerwas

autsch okay stimmt :-[

dann habe ich [mm] artanh'(x)=\bruch{1}{cosh^2(x)} [/mm] = [mm] \bruch{4}{(e^x-e^{-x})^2} [/mm]

und da ein quadrat einer reellen zahl immer >0 ist wäre ich hier fertig ... aber was mache ich im Punkt 0 hier ist die ableitung ja dann nicht definiert oder?

und wie mache ich das bit der bijektion?
eigentlich müsste ich doch zeigen, dass es keine gleichen Funktionswerte im Intervall (-1,1) gibt oder?
Und wie setze ich da an damit ich eine vernünftige Aussage treffen kann?

Danke und Gruß Zerwas

Bezug
        
Bezug
tanh / artanh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Mi 23.01.2008
Autor: leduart

Hallo
> Man beweise:
>  Dir Funktion tanh: [mm]\IR\rightarrow\IR[/mm] ist streng monoton
> wachsend und bildet [mm]\IR[/mm] bijektiv auf (-1,1) ab.
>  Die Umgekrfunktion Artanh: [mm](-1,1)\rightarrow\IR[/mm] ist
> differenzierbar. Man berechne die Ableitung.
>  Zuerst fange ich einmal mit der Monotonie an.
>  D.h. es muss gelten: f(a) < f(b) für a <  also f(a)-f(b) >

> 0

Genau falsch rum!
aus a<b soll folgen f(a) < f(b)  also f(a) -f(b) <0!
aus [mm] e^{a+h}>e^a [/mm] folgt [mm] 1+e^{a+h}>1+e^a [/mm]  daraus [mm] 1/(1+e^{a+h})<1/(1+e^a) [/mm]
und [mm] -1/(1+e^{a+h})>-1/(1+e^a) [/mm]   jetzt noch +1!

> [mm]tanh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{2}{e^{2x}+1}[/mm]
>  
> Setze nun b = a+h für ein [mm]h\in\IR_+:[/mm]
>  tanh(a)-tanh(a+h) = 1 - [mm]\bruch{2}{e^{2a}+1}[/mm] - (1 -
> [mm]\bruch{2}{e^{2(a+h)}+1})[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^{2(a+h)}+1}[/mm] -
> [mm]\bruch{2}{e^{2a}+1}[/mm] = ...
>  
> Könnte mir hier evtl. jmd auf die sprünge helfen wie
> weiter?

Siehe oben.

>
> die Umkehrfunktion ableiten:
>  
> [mm]artanh'(x)=\bruch{1}{tanh'(artanh(x))}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{cosh^2(artanh(x))}}[/mm] = [mm]cosh^2(artanh(x))[/mm]
> = [mm]cosh^2(\bruch{arsinh(x)}{arcosh(x)}[/mm]

rechne nach oder wisse: [mm] cosh^2=\bruch{1}{1-tanh^2} [/mm]

die Umrechnungsformeln für sin,cos,tan bzw. sinh, cosh tanh ineinander braucht man immer um die Ableitungen der Umkehrfkt auszurechnen.  

Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
tanh / artanh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Mi 23.01.2008
Autor: Zerwas

okay gut ... danke :) ... an der tatsache, dass $ [mm] 1/(1+e^{a+h})<1/(1+e^a) [/mm] $ bin ich vorhin auch hängen geblieben ohn dass mir bewusst geworden ist, dass ich ja genau das zu zeigen habe. -.-

zur ableitung:
d.h ich habe dann :
[mm] cosh^2(artanh(x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-tanh^2(artanh(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-tanh(artanh(x))*tanh(artanh(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm]

Passt das dann so?

Danke für die Erklärung

Gruß Zerwas

Bezug
                        
Bezug
tanh / artanh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Mi 23.01.2008
Autor: leduart

Hallo
Alles richtig.
Gruss leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]