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tangentialebene: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Di 07.06.2005
Autor: bobby

Hallo!

Ich hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe, vielleicht könnt ihr mir helfen:

Bestimmen Sie die Tangentialebene der Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR, f(x)=x_{1}sin(x_{2}) [/mm] in [mm] f(x_{0}) [/mm] mit [mm] x_{0}=(1,\bruch{\pi}{2}. [/mm]

        
Bezug
tangentialebene: Gradient
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Di 07.06.2005
Autor: Gnometech

Gruß!

Dazu musst Du nur den Gradienten bestimmen.

Als affiner Teilraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] (wo der Graph liegt) wird die Tangentialebene aufgespannt durch die Richtungsvektoren [mm] $(1,0,z_1)$ [/mm] und [mm] $(0,1,z_2)$ [/mm] wobei

[mm] $z_1 [/mm] = [mm] \mbox{grad} [/mm] f [mm] \left( 1, \frac{\pi}{2}\right) e_1$ [/mm]
und
[mm] $z_2 [/mm] = [mm] \mbox{grad} [/mm] f [mm] \left( 1, \frac{\pi}{2}\right) e_2$ [/mm]

Mit anderen Worten: Gradienten bestimmen, einsetzen, glücklich sein. :-)

Lars

Bezug
                
Bezug
tangentialebene: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Di 07.06.2005
Autor: bobby

Also als Gradient von f habe ich folgendes bestimmt: [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}}=\sin(x_{2}) [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{2}}=x_{1}\cos(x_{2}). [/mm]

Mein Problem ist jetzt noch, ich hab für [mm] x_{1}=1 [/mm] und für [mm] x_{2}=\bruch{\pi}{2} [/mm] eingesetzt, ist das richtig? Dann kommt für [mm] z_{1}=1 [/mm] und für [mm] z_{2}=0 [/mm] raus.

War mir nicht sicher ob ich das so richtig gemacht bzw. verstanden habe????

Bezug
                        
Bezug
tangentialebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 Fr 10.06.2005
Autor: Julius

Hallo!

Ja, der Gradient stimmt. [ok]

Zur Aufstellung der Tangentialebene kannst du dir ja mal diesen Beitrag hier durchlesen.

Demzufolge wird die Tangentialebene beschrieben durch:

$z = 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] (x-1) + 0 [mm] \cdot \left(y-\frac{\pi}{2} \right) [/mm] = x$,

sie hat hier also eine sehr einfache Gestalt. ;-)

Es ist einfach die Ebene mit Normalenvektor [mm] $\pmat{1 \\ 0 \\ -1}$. [/mm]

Viele Grüße
Julius

Bezug
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