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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mi 07.12.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
ich hab da ma ne frage unnd zwar wenn ich eine funktion gegeben hab ,zb f(x) = x²+1 und den zb den punt P(-1/0) ,wie kann ich dann die gerade bestimmen ,die für f(x) eine tangente ist und druch den punkt P geht?
kann mir da jemnad helfen ,wie das geht oder zumdenst einen ansatz geben?
danke
christopher
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopher!
Wir suchen also eine Gerade [mm] $y_t [/mm] \ = \ [mm] m_t*x+n$, [/mm] bei der wir einen Punkt kennen, hier: $P \ (-1; \ 0)$, und die als Tangente die genannte Funktion berühren soll.
Das heißt ja, dass unsere gesuchte Gerade im Berührpunkt $B \ [mm] (x_b; [/mm] \ [mm] y_b)$ [/mm] dieselbe Steigung haben muss wie die Kurve:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] 2*x_b$
[/mm]
Dies setzen wir nun in die Punkt-Steigungs-Form für Geraden ein:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y_b-y_P}{x_b-x_P}$
[/mm]
[mm] $f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*x_b$
[/mm]
Aus dieser Gleichung kannst Du nun zunächst den x-Wert [mm] $x_b$ [/mm] der Berührstelle von Tangente und Kurve ermitteln und anschließend die Geradengleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 07.12.2005 | | Autor: | der_puma |
> Hallo Christopher!
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> Wir suchen also eine Gerade [mm]y_t \ = \ m_t*x+n[/mm], bei der wir
> einen Punkt kennen, hier: [mm]P \ (-1; \ 0)[/mm], und die als
> Tangente die genannte Funktion berühren soll.
>
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> Das heißt ja, dass unsere gesuchte Gerade im Berührpunkt [mm]B \ (x_b; \ y_b)[/mm]
> dieselbe Steigung haben muss wie die Kurve:
>
> [mm]m_t \ = \ f'(x_b) \ = \ 2*x_b[/mm]
>
>
> Dies setzen wir nun in die Punkt-Steigungs-Form für Geraden
> ein:
>
> [mm]m_t \ = \ \bruch{y_b-y_P}{x_b-x_P}[/mm]
>
> [mm]f'(x_b) \ = \ \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} \ = \ \bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} \ = \ 2*x_b[/mm]
>
>
> Aus dieser Gleichung kannst Du nun zunächst den x-Wert [mm]x_b[/mm]
> der Berührstelle von Tangente und Kurve ermitteln und
> anschließend die Geradengleichung.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
danke schonma ,aber irgendwie hilft mir das noch net so gnaz ,ich versteh das soweit nur warum kann man den punkt P in f´(x) einsetzen kann ,denn f gehet doch gar net durch den punkt?
[mm]f'(x_b) \ = \ \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} \ = \ \bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} \ = \ 2*x_b[/mm]
un wenn ich dann soweit bin ,wie kann ich dann weiterrechnen,welche gleichung muss ich denn dann mit welcher g´leichsetzen?
gruß christopher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopher!
> ich versteh das soweit nur warum kann man den punkt P
> in f´(x) einsetzen kann ,denn f gehet doch gar net durch
> den punkt?
Denn Punkt bzw. die Koordinaten des Punktes $P_$ setzen wir ja gar nicht ein in die Ableitungsfunktion, sondern einen anderen (= zweiten) noch unbekannten Punkt: den Berührpunkt $B_$, an welchem sich die gesuchte Gerade und die Kurve berühren.
Und in diesem Punkt $B_$ müssen ja sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (= Ableitungen) von Gerade und Kurve übereinstimmen. Sonst wäre es ja keine Tangente.
[mm]f'(x_b) \ = \ \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} \ = \ \underbrace{\bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} \ = \ 2*x_b}_{= \ Bestimmungsgleichung \ f"ur \ x_b}[/mm]
> un wenn ich dann soweit bin ,wie kann ich dann
> weiterrechnen,welche gleichung muss ich denn dann mit
> welcher g´leichsetzen?
Diese oben genannte ist schon Deine Bestimmungsgleichung, um zunächst den x-Wert [mm] $x_b$ [/mm] des Berührpunktes $B_$ zu ermitteln.
Also diese Gleichung, die ich mit der geschwiften Klammer markiert habe, nun nach [mm] $x_b$ [/mm] umstellen und auflösen. Anschließend kannst Du dann mit diesem Wert Deine gesuchte Tangentengleichung bestimmen.
Nun klar(er) und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 07.12.2005 | | Autor: | der_puma |
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> Diese oben genannte ist schon Deine Bestimmungsgleichung,
> um zunächst den x-Wert [mm]x_b[/mm] des Berührpunktes [mm]B_[/mm] zu
> ermitteln.
>
> Also diese Gleichung, die ich mit der geschwiften Klammer
> markiert habe, nun nach [mm]x_b[/mm] umstellen und auflösen.
> Anschließend kannst Du dann mit diesem Wert Deine gesuchte
> Tangentengleichung bestimmen.
>
>
> Nun klar(er) und ?
>
>
> Gruß
> Loddar
>
ok das is klar
aber wenn ich deise bestimmungsgelcihun nach [mm] x_b [/mm] auflöse komme ich auf
[mm] 2x_b²+2x_b=x_b²+1
[/mm]
[mm] x_b²+2x_b-1=0
[/mm]
hier komme ich aber auf zwei lsungen ,aber das kann doch nicht sein weil dei tangente doch nur einen berührungspunkt mit dem graphen ahben kann oder?
gruß
christopher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopher!
Sieh mal hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für diese Funktion und diesen Punkt kann ich also wirklich zwei verschiedene Tangenten anlegen. Daher natürlich auch zwei Lösungen für die betreffenden Berührpunkte [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Mi 07.12.2005 | | Autor: | der_puma |
danke war ne schwer geburt^^
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