tangenten und stammfunktionen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 03.12.2006 | | Autor: | Nipsi |
| Aufgabe | | bestimmen sie die gleichung der tangenten, die durch den punkt p (-2;2) geht und den graphen von f berührt ( f (x)= [mm] 2x^2-4x [/mm] / [mm] (x+2)^2. [/mm] geben sie die koordinaten der berührpunkte an. |
hallochen, ich hab (mal wieder) ein problem und zwar weiß ich nihct wie ich aus nur einer gegeben sache eine tangente errechenn soll....
hinweis: die lösung lautet: t= -x , berührpunkt (0;0)
achja und wie bildet man von einer gebr- rationalen funktion die stammfunktion, also wie kriegt man den bruch weg...????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 03.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Christine.
Zur Tangente:
Du suchst die Tangente am Berürhpunkt B.
Eine Tangente ist ja eine Gerade der Form t(x)=mx+n.
Das heisst, du musst m und n bestimmen.
Fangen wir mit m an. Da es eine Tangente sein soll, muss sie am Berührpunkt B(b/f(b)) dieselbe Steigung wie der Graph haben.
Diese Steigung wird ja gerade mit der Ableitung an der Stelle b angegeben.
Also m=f'(b)
jetzt liegt der Berührpunkt ja auf der Geraden.
Es gilt also t(b)=m*b+n
und t(b)=f(b)
Also
f(b)=f'(b)*b+n
[mm] \gdw [/mm] n=f(b)-(b*(f'(b)))
Das Einsetzen und berechnen der konkreten Werte überlasse ich jetzt dir.
Da ich zum Frageteil mit der Stammfunktion noch keine Ahnung habe, lasse ich die Frage auf teilweise beantwortet sehen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 So 03.12.2006 | | Autor: | Nipsi |
aber B ist doch gesucht. =(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 03.12.2006 | | Autor: | Messe |
Die allgemeine Tangentenformel lautet: $f'(b) [mm] \cdot [/mm] (x-b)+f(b)$
Das kann man jetzt ausrechnen und man bekommt die Tangentengleichung durch den Punkt $B(b|f(b))$. Jetzt macht man noch eine Punktprobe mit P(-2|2) um b rauszukriegen, dann ist man fertig.
Mit der Methode von M.Rex erhält man 3 Gleichungen in einem unschönen System, funktionieren tut das aber auch denk ich.
|
|
|
| |
|
Hi, Nipsi,
der Hinweis von M.Rex in Bezug auf die Steigung ist bereits "die halbe Miete!)
Nennen wir den Berührpunkt B(b; f(b))
Dann gilt für die TANGENTENsteigung: [mm] m_{t} [/mm] = f'(b)
Da Du die Ableitung sicher bereits ermittelt hast, kann ich Dir da gleich das "Endergebnis" geben:
f'(b) = [mm] \bruch{12b - 8}{(b+2)^{3}}
[/mm]
Andererseits geht die Tangente durch B und P(-2; 2).
Daher kann man ihre Steigung auch so berechnen:
[mm] m_{t} [/mm] = [mm] \bruch{f(b) - y_{P}}{b - x_{P}}
[/mm]
eingesetzt:
[mm] m_{t} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{2b^{2}-4b}{(b+2)^{2}} - 2}{b + 2}
[/mm]
Wenn Du nun beide "Steigungsformeln" gleichsetzt, kriegst Du erst mal:
[mm] \bruch{\bruch{2b^{2}-4b}{(b+2)^{2}} - 2}{b + 2} [/mm] = [mm] \bruch{12b - 8}{(b+2)^{3}}
[/mm]
Das multiplizierst Du mit [mm] (b+2)^{3} [/mm] und kriegst:
[mm] 2b^{2}-4b [/mm] - 2(b + [mm] 2)^{2} [/mm] = 12b - 8
Umgeformt und vereinfacht ergibt sich letztlich: b = 0.
Der gesuchte Berührpunkt ist also der Ursprung: B(0;0)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
