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Forum "Differentiation" - tan ableiten

tan ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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tan ableiten: Aufgabe + Mögl. Lösung

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:33 Fr 28.01.2005
Autor:	The_Holy_One

Hi Leute,

also ich hab paar Aufgaben zum Ableiten bekommen + die bestimmung von Dmax:

a) f(x) = [mm] x^{tan x} [/mm]
- Meine Lösung, stimmt die soweit ?
f'(x) = 1 [mm] \cdot{} [/mm] (tan(x))' = 1 [mm] \cdot{} \bruch{1}{cos^2(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos^2(x)} [/mm]

b) f(x) = [mm] \wurzel[x]{x} [/mm]
- Keine Ahnung

c) f(x) = ln(ln x)
- Meine Lösung:
f'(x) = ln(1/x) = [mm] \bruch {1-ln1}{x^{2}} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

tan ableiten: Korrekturen!!

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:56 Fr 28.01.2005
Autor:	Loddar

> Hi Leute,
>
> also ich hab paar Aufgaben zum Ableiten bekommen + die
> bestimmung von Dmax:
>
> a) f(x) = [mm]x^{tan x}[/mm]
>  - Meine Lösung, stimmt die soweit ?
>   [mm]f'(x) = 1 \cdot{} (tan(x))' = 1 \cdot{} \bruch{1}{cos^2(x)} = \bruch{1}{cos^2(x)}[/mm]

Dann hätten die Funktionen $tan(x)$ und Deine oben genannte die gleiche Ableitung.

Du mußt hier Deine Funktion "umschreiben" als e-Funktion:
$f(x) \ = \ [mm] x^{tan(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{tan(x)*ln(x)}$ [/mm]

Dann wissen wir: [mm] $\left( e^z\right)' [/mm] \ = [mm] e^z$ [/mm]
Zudem müssen wir die

Kettenregel in Verbindung mit der

Produktregel anwenden.

> b) f(x) = [mm]\wurzel[x]{x}[/mm]

Ähnlich wie bei a.)
$f(x) \ = \ [mm] \wurzel[x]{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{x}*ln(x)}$ [/mm]
Auch hier dann wieder

Kettenregel mit

Produktregel ...

> c) f(x) = ln(ln x)
> - Meine Lösung:
> [mm]f'(x) = ln(1/x) = \bruch {1-ln1}{x^{2}}[/mm]

Weil's so schön ist:

Kettenregel !!

Wir haben einen verkettete Funktion: $f(x) \ = \ ln(z)$ mit $z = ln(x)$

äußere Ableitung:
[mm] $\left[ ln(z) \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{z}$ [/mm]

innere Ableitung:
[mm] $\left[ ln(x) \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]

Gesamtableitung = "äußere Ableitung" × "innere Ableitung"
$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{z} [/mm] \ * \ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{ln(x)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x*ln(x)}$ [/mm]

Siehst Du nun etwas klarer?
Poste doch mal die Ergebnisse der ersten beiden Aufgaben zur Kontrolle, wenn Du möchtest ...

Gruß
Loddar

Bezug

tan ableiten: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	12:12 Fr 28.01.2005
Autor:	The_Holy_One

Ok ich probiers gleich mal aus und poste anschliessend meine Ergebnisse

Bezug

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