systeme lin. unabh. vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mo 26.11.2007 | | Autor: | TheSaint |
Also wenn ich einen Vektorraum V der Dimension n über einem endlichen Körper [mm] \IF_{p} [/mm] mit [mm] p^n [/mm] elementen habe.
wieviele Systeme (Teilmengen) von linearunabhängigen Vektoren kann ich in V finden?
also ich kann n linear unabhängige Vektoren bilden oder?
zählt ein einziger Vektor schon als Teilmenge?
Wie sieht es mit dem Nullvektor aus, muss ich den da raus lassen ja oder?
gruß TheSaint
|
|
| |
|
> Also wenn ich einen Vektorraum V der Dimension n über einem
> endlichen Körper [mm]\IF_{p}[/mm] mit [mm]p^n[/mm] elementen habe.
> wieviele Systeme (Teilmengen) von linearunabhängigen
> Vektoren kann ich in V finden?
>
> also ich kann n linear unabhängige Vektoren bilden oder?
Hallo,
die größten linear unabhängigen Teilmengen, die Du finden kannst, enthalten n Elemente.
> zählt ein einziger Vektor schon als Teilmenge?
Ja.
> Wie sieht es mit dem Nullvektor aus, muss ich den da raus
> lassen ja oder?
Ja. Der ist linear abhängig, denn die Gleichung [mm] k*\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} [/mm] hat nicht nur die Lösung k=0.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mo 26.11.2007 | | Autor: | TheSaint |
ja aber ich verstehe nicht ganz, wie ich jetzt auf die anzahl der Systeme (Teilmengen) kommen soll... es is mir zwar klar das die größte teilmenge n element besitzt aber gibt es dann n! systeme?
|
|
|
| |
|
Sollst Du sämtliche linear unabhängige Teilmengen zählen, oder nur die mit n Elementen?
1. Für die einelementigen Teilmengen hast Du ja [mm] p^n-1 [/mm] Möglichkeiten.
2. Für die zweielementigen kannst Du den ersten Vektor beliebig wählen mit Ausnahme der Null, das sind also [mm] p^n-1 [/mm] Möglichleiten.
Für den zweiten Vektor kommen alle Vektoren infrage, die nicht vom ersten abhängig sind. Wieviele?
In dem Stile kannst Du weiterüberlegen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mo 26.11.2007 | | Autor: | TheSaint |
also wenn ich jetzt eine natürliche zahl k [mm] \le [/mm] n habe und alle systeme von k-linear unabhängigen vektoren finden muss. hab ich dann auch [mm] p^n [/mm] - 1 weil es ja eine bestimmte elementanzahl ist?
|
|
|
| |
|
> also wenn ich jetzt eine natürliche zahl k [mm]\le[/mm] n habe und
> alle systeme von k-linear unabhängigen vektoren finden
> muss. hab ich dann auch [mm]p^n[/mm] - 1 weil es ja eine bestimmte
> elementanzahl ist?
Hallo,
für den ersten der k Vektoren [mm] ,v_1, [/mm] hast Du [mm] p^n-1 [/mm] Möglichkeiten, denn Du kannst ja jeden Vektor mit Ausnahme des Nullvektors nehmen.
Nun willst Du den nächsten zufügen: jetzt steht Dir nicht mehr der ganze [mm] K^n [/mm] mit seinen [mm] p^n [/mm] Vektoren zur Verfügung, denn die Vektoren, die v. [mm] v_1 [/mm] abhängig sind, fallen aus. Und so geht es dann immer weiter.
Ich weiß nicht, ob bei Euch Mengen - also ohne Reihenfolge - Familien -mit Reihenfolge gemeint sind.
Wenn's ohne Reihenfolge ist, muß Du zum Schlüß noch passend dividieren, um die mehrfach vorhandenen Mengen nicht doppelt zu zählen.
Führe das Procedere doch mal durch, z.B. für den [mm] K^3, [/mm] wobei K die Restklassen mod 3 sind.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also, man kann das ganze ja noch für 3 aufschreiben, aber das hiflt mir leider nicht viel, das zu verallgemeinern... sehe das noch nicht wirklich ein prinzip dahinter..
|
|
|
| |
|
> also, man kann das ganze ja noch für 3 aufschreiben, aber
> das hiflt mir leider nicht viel, das zu verallgemeinern...
> sehe das noch nicht wirklich ein prinzip dahinter..
Hallo,
die Anzahl der Elemente im betrachteten Vektorraum ist ja endlich.
Man baut jetzt sukzessive eine linear unabhängige Teilmenge mit k Elementen auf.
Beim ersten Vektor [mm] v_1 [/mm] ist man nahezu frei bei der Wahl.
Wenn man die zweiten zufügt, fallen die weg, die von [mm] v_1 [/mm] linear abhängig sind. Wieviele und welche sind das? Man hat also weniger Auswahl als beim ersten.
Wenn man den dritten wählen will, muß man erst alle Vektoren aussortieren, die v. [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] abhängig sind. Wieviele sind das? Wie sind die gemacht?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
