symmetrische Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Di 07.12.2004 | | Autor: | amir |
Ich habe gar nix von diese Aufgabe verstanden, das finde einbisschen schwer für mich. Bitte ,könnte jemand mir helfen die aufgabe zu lösen und bitte mit der komplete ablauf wenn es möglich damit ich besser verstehen .
vielen Dank und mit freudlichen Grüßen.
Aufgabe :
Es sei [mm] S_{n} [/mm] die symmetrische Gruppe von Grade n. Es seien
(1 j) := (j, 2, 3, . . . , j-1, 1, j + 1, . . . , n) (2 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n)
die Permutationen aus [mm] S_{n}, [/mm] welche das erste und j- te Element einer n-elementigen geordneten Menge vertauschen.
Zeigen Sie für [mm] n\ge [/mm] ,dass
[(1 2), (1 3), . . . , (1 n)] = [mm] S_{n}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo!
Zunächst vorneweg: eine Vertauschung zweier Elemente heißt auch "Transposition" bzw. genauer: eine Permutation einer $n$-elementigen Menge heißt Transposition, wenn zwei Elemente vertauscht werden und der Rest fest bleibt.
Zunächst ist die eine Inklusion klar: das Erzeugnis der beschriebenen Transpositionen liegt natürlich in der vollen [mm] $S_n$. [/mm] Du mußt also nur zeigen, dass sich jede Permutation als Produkt von solchen speziellen Transpositionen schreiben läßt.
Für beliebige Elemente $i,j [mm] \in \{ 1, \ldots, n \}$ [/mm] gilt aber doch falls $i [mm] \not= [/mm] 1$ und $j [mm] \not= [/mm] 1$:
$(i [mm] \; [/mm] j) = (1 [mm] \; [/mm] j) [mm] \circ [/mm] (1 [mm] \; [/mm] i) [mm] \circ [/mm] (1 [mm] \; [/mm] j)$
Das heißt man kann jede beliebige Transposition durch die angegebenen darstellen.
Es bleibt also zu zeigen, dass jede beliebige Permutation Produkt von Transpositionen ist. Das geht entweder per Induktion über $n$ relativ leicht oder man zeigt es direkt: ein möglicher Beweis steht im "Fischer: Lineare Algebra".
Vielleicht eine kleine Anekdote dazu: ein Prof. von uns hat zu dieser Aufgabe mal gesagt: "Das kann jedes 5-jährige Kind!" Was er natürlich gemeint hat: jedes 5-jährige Kind versteht die Aussage und kann sie durch Probieren verifizieren - der formale Beweis ist natürlich etwas schwieriger und dem 1. Semester durchaus angemessen. 
Schöne Grüße,
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 08.12.2004 | | Autor: | amir |
ja ich weiß dass ich mit Mathe nix zu tun habe. aber ich versuche ehrlich zu verstehen, vielleicht klappt s irgendwann!!!!!!
|
|
|
|
