sym. bil.form - total isotrop < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $V$ ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum, $b: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR$ [/mm] eine nicht ausgeartete, symetrische Bilinearform.
Bestimmen Sie die maximale Dimension eines total isotropen Unterraums von $V$ in Abhängigkeit vom Typ $(p,q)$ von $b$. |
moin,
Bei obiger Aufgabe hab ich leider grad ein paar Probleme...
Zu aller erst mal hab ich mir folgendes überlegt:
Sei dim$(V) = n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann muss $p+q=n$ gelten, da $b$ sonst ausgeartet wäre.
Ist nun $W$ ein solcher total isotroper Unterraum von $V$, so muss ja ins besondere $b(w,w) = 0$ für alle $w [mm] \in [/mm] W$ gelten.
So spontan würde ich sagen, dass das ein Widerspruch zum Typ ist, denn hat $b$ den Typ $(p,q)$, so gibt es ja einen Unterraum der Dimension $p$, auf dem $b$ positiv definit ist und einen der Dimension $q$, auf dem $b$ negativ definit ist.
Könnte ich aber vielleicht nicht auf der anderen Seite einen Vektor $v$ basteln, sodass $b(v,v) = 0$; etwa als Linearkombination aus den beiden obigen Räumen?
Ich bin da alles in allem etwas verwirrt und hab leider für keine meiner Vermutungen einen brauchbaren Beweis...
Danke schonmal für Tipps und Hilfe.
lg
Schadow
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Do 12.01.2012 | | Autor: | hippias |
Mal angenommen $V$ hat eine Basis $u,v$ mit $b(u,u)=1$ und $b(v,v)= -1$. Dann ist $W= [mm] \IR(u+v)$ [/mm] total isotrop.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 13.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
