surjektiv, injektiv -.- < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 20.10.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^n->\IR^m, g:\IR^m->\IR^k [/mm] lineare Abbildung. f hat vollen rang, wenn rg(f)=min(n,m). beweise oder widerlege:
a)f hat vollen fang => f injektiv
b)f '' '' => f surjektiv
c)f '' '' => f bijektiv
d)f und g haben vollen fang => gof hat vollen rang
e)f und g surjektiv => gof vollen rang
f)f und g injektiv => gof vollen rang |
hallo zusammen,
wenn man die fälle von a bis f abstottert, da muss man doch jedes mal ne fallunterscheidung machen, von wegen n>m bzw m>n oder?
denn bei a is ja zb [mm] f:\IR^2->\IR^3 [/mm] injektiv und
bei b is ja zb [mm] f:\IR^3->\IR^2 [/mm] surjektiv,
vertauscht man bei beiden funktionen jeweils die zahlen, gilt die aussage ja nicht mehr....
kommt es bei dieser aufgabe darauf überhaupt an?
denn ich hab gesagt für n>m nicht injektiv, beispiel angegeben mit A=(1,1,1;2,2,1) das semikolon soll neue zeile heißen. für m>n hab ich gesagt, da f linear ist, wird basis auf basis abgebildet, wo werden m basisvektoren von [mm] \IR^n [/mm] auf basisvektoren von [mm] \IR^m [/mm] abgebildet, die restlichen bilder der übrigen n-m vektoren sind ja dann linearkombinationen aus den bildern der anderen.....
kann man das so in etwa machen?
danke schomma im voraus :)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR^n->\IR^m, g:\IR^m->\IR^k[/mm] lineare Abbildung. f hat
> vollen rang, wenn rg(f)=min(n,m). beweise oder widerlege:
> a)f hat vollen fang => f injektiv
> b)f '' '' => f surjektiv
> c)f '' '' => f bijektiv
> d)f und g haben vollen fang => gof hat vollen rang
> e)f und g surjektiv => gof vollen rang
> f)f und g injektiv => gof vollen rang
> hallo zusammen,
> wenn man die fälle von a bis f abstottert, da muss man doch
> jedes mal ne fallunterscheidung machen, von wegen n>m bzw
> m>n oder?
Nein
> denn bei a is ja zb [mm]f:\IR^2->\IR^3[/mm] injektiv und
> bei b is ja zb [mm]f:\IR^3->\IR^2[/mm] surjektiv,
>
> vertauscht man bei beiden funktionen jeweils die zahlen,
> gilt die aussage ja nicht mehr....
>
> kommt es bei dieser aufgabe darauf überhaupt an?
>
> denn ich hab gesagt für n>m nicht injektiv, beispiel
> angegeben mit A=(1,1,1;2,2,1) das semikolon soll neue zeile
> heißen. für m>n hab ich gesagt, da f linear ist, wird basis
> auf basis abgebildet, wo werden m basisvektoren von [mm]\IR^n[/mm]
> auf basisvektoren von [mm]\IR^m[/mm] abgebildet, die restlichen
> bilder der übrigen n-m vektoren sind ja dann
> linearkombinationen aus den bildern der anderen.....
>
> kann man das so in etwa machen?
>
> danke schomma im voraus :)
> lg
>
a) ist z.B. falsch. Sei n=2 und m=1 und f(x,y) = x+y. Dann ist f(1,1) =2 = f(2,0)
f ist also nicht injektiv.
Für den Rest: f hat vollen Rang [mm] \gdw dimf(\IR^n) [/mm] = m [mm] \gdw f(\IR^n) [/mm] = [mm] \IR^m
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 20.10.2008 | | Autor: | eumel |
wenn man dann die 2. aussage überprüfen will, kann man sich dann einfach [mm] f:\IR->\IR^2, [/mm] x->(x,x-2) von mir aus definieren und sagen 1->(1,-1) und 0->(0,-2),aber zb (1,1) wird nicht "getroffen" daher ist die surjektivität nicht gegeben?
3 is ja dann billig, wenn s nicht surjektiv ist, kanns ja schon garnicht bijektiv sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:46 Di 21.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> wenn man dann die 2. aussage überprüfen will, kann man sich
> dann einfach [mm]f:\IR->\IR^2,[/mm] x->(x,x-2) von mir aus
> definieren und sagen 1->(1,-1) und 0->(0,-2),aber zb (1,1)
> wird nicht "getroffen" daher ist die surjektivität nicht
> gegeben?
Nein, Dein obiges f ist nicht linear !!!!!!!
Übrigends: die 2. Aussage ist richtig.
FRED
>
> 3 is ja dann billig, wenn s nicht surjektiv ist, kanns ja
> schon garnicht bijektiv sein
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:04 Di 21.10.2008 | | Autor: | eumel |
hallo :)
nur ein kurzes ja oder nein würd mir auch reichen zu meinen vermutungen: zu
3) def. nicht
4) stimmt
5) stimmt
6) stimmt nicht
hoff ma, ich lieg richtig ^^
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 23.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Übrigends: die 2. Aussage ist richtig.
Hallo,
nein, die ist falsch.
Es hat [mm] \pmat{1&0\\ 0&1\\0&0} [/mm] vollen Rang, doch die Abbildung ist nicht surjektiv.
Gruß v. Angela
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