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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 30.10.2005 | | Autor: | Cutie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich habe eine Frage,
Die Abbildung f: [mm] \IZ \to \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] sei definiert durch f(n) = (n hoch 2, (n+1) hoch 2) für alle n [mm] \in \IZ.
[/mm]
Man beweise oder wiederlege:
a) f ist injektiv.
b) f ist surjektiv.
Ist es nicht injektiv, da man es kürzen kann und man zum Schluss n1 = n2 rausbekommt. Könnte mir jemand vielleicht den Rechenaufschritt aufschrieben. Ich weiß nähmlich nicht wie ich es aufschreiben soll.
Ich danke scchonmal im voraus.
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Ich würde auch sagen, dass f injektiv ist, allerdings würde ich es andern begründen. Was meinst Du bei deiner Begründung mit kürzen?
Ich würde es so machen:
Nehmen wir zuerst an, dass f surjektiv sei:
Wenn f surjektiv ist, so muss jedes Zahlenpaar durch die gegebene Vorschrift abgebildet werden können:
Sei [mm] (z_{1},z_{2}):= [/mm] (0,0) Um Dieses Paar mit [mm] f(n)=(n^{2},(n+1)^{2}) [/mm] darstellen zu können, muss n=0 sein. n darf gleichzeitig aber nicht 0 sein, da [mm] (n+1)^{2} [/mm] für =0 nicht 0 wird.
Also kann ich das Zahlenpaar (0,0) nicht darstellen, womit die Funktion nicht mehr surjektiv sein kann, da nun nicht mehr zu jedem f(n) mindestens ein Urbild existiert.
Beim Beweis der Injektivität bin ich mir überhaupt nicht mehr sicher, ob man es so machen kann, meine erste LA Übung ist erst am Mittwoch :)
Also:
Nehmen wir an, das Zahlenpaar [mm] (z_{1},z_{2}) [/mm] sei auf zwei verschiedene Arten darstellbar:
[mm] (n_{1}^{2},(n_{1}+1)^{2})=(z_{1},z_{2})
[/mm]
[mm] (n_{2}^{2},(n_{2}+1)^{2})=(z_{1},z_{2}), [/mm] mit [mm] n_{1} \not=n_{2}
[/mm]
Subtrahiere ich beide Gleichungen komme ich zu:
[mm] (n_{1}^{2}-n_{2}^{2},(n_{1}+1)^{2}-n_{2}+1)^{2})=(0,0)
[/mm]
Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn [mm] n_{1}=n_{2}, [/mm] was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. Also gibt es zu jedem [mm] (z_{1},z{2}) [/mm] höchstens ein Urbild, sodass f injektiv sein muss.
Bitte um Korrktur meiner Lösung :)
Gruß
Alex
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