supremum und infimum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Di 06.11.2007 | | Autor: | froggie |
Ich habe mal eine Frage zur Bestimmung von Infimum und Supremu einer Funktion.
Was für möglichkeiten gibt es denn noch das Infimum zu bestimmen ohne den Grenzwert, also den Limes zu benutzen.
Hat wer einen Tipp?
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> Ich habe mal eine Frage zur Bestimmung von Infimum und
> Supremu einer Funktion.
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> Was für möglichkeiten gibt es denn noch das Infimum zu
> bestimmen ohne den Grenzwert, also den Limes zu benutzen.
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> Hat wer einen Tipp?
Hallo,
die Frage ist ja recht allgemein gestellt, wie man das macht, wird immer auch von der Menge abhängen. Bei [mm] \{ 1,2,3\} [/mm] z.B. komme ich ganz ohne Raffinesse aus.
Wenn die Menge durch Funktionswerte eine Funktion erklärt ist, ist es oft nützlich, sich das Minimum und Maximum der Funktion anzugucken.
Wenn man eine monoton fallende Folge hat, kann es nicht alnders sein als daß das erste Folgenglied das größte ist.
Was genau willst Du wissen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 06.11.2007 | | Autor: | froggie |
f(n)= [mm] \bruch{4n^{2}+7n+1}{n^2} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Die Funktion sieht so aus.....werd deinen tipp mal ausprobieren ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Di 06.11.2007 | | Autor: | froggie |
HAB MICH VERTIPPT!!!!
Das sollen nicht zwei zusammengesetze funktionen sein, sondern EINE und das soll einen Bruch darstellen, SORRY!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Folge in 3 Summanden zerlegst siehst du sofort dass sie >4 ist und bei n=1 am größten, wie Angela sagte, monoton fallend sofort zu sehen, und GW fällt auch ins Auge.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 06.11.2007 | | Autor: | froggie |
Bei so einer Funktion
> f(n)= [mm]\bruch{6n}{3n+2}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
bei dieser aufgabe kann die erste ableitung nicht null werden... es gibt also keine Maxima und Minima....aber trotzdem supremum und infimum, oder?
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Hallo froggie!
Da hast Du Recht. Am besten sieht man das, wenn man den Bruch hier umformt:
$$f(n) \ = \ [mm] \bruch{6n}{3n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6n \ \red{+4-4}}{3n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6n+4}{3n+2}-\bruch{4}{3n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*(3n+2)}{3n+2}-\bruch{4}{3n+2} [/mm] \ = \ [mm] 2-\bruch{4}{3n+2} [/mm] $$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 06.11.2007 | | Autor: | froggie |
wenn ich für die funktion 2mal ableite bekomme ich eine Zahl heraus, dass bedeutet doch, dass nur ein maxiumum gibt, wenn es eine pos zahl ist, bzw ein minimum ist, wenn es eine negative zahl ist.....
(oh man..... das abi scheint schon so lange hinter mir zu liegen.... ;) )
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> wenn ich für die funktion 2mal ableite bekomme ich eine
> Zahl heraus, dass bedeutet doch, dass nur ein maxiumum
> gibt, wenn es eine pos zahl ist, bzw ein minimum ist, wenn
> es eine negative zahl ist.....
Wenn die erste Ableitung =0 ist und die zweite <0 kannst Du sicher sein, ein Maximum vorliegen zu haben an der entsprechenden Stelle.
Wenn Du richtig gerechnet hast, hast Du ein Minimum, und das leigt irgendwo zwischen -1 und 0, ist also für Deine Fragestellung überhaupt nicht relevant.
Antwort darauf, was zu tun ist, hat Dir ja leduart bereits gegeben.
Ein Tipp: Funktion zeichnen und angucken, und dann das, was man dort sieht, als Basis für eine Behauptung nehmen, die man dann natürlich beweisen muß.
Gruß v. Angela
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Ist denn f(n) überhaupt differenzierbar?
Nein oder? weil das doch garnicht stetig ist.. also ich hab irgendwie
im Kopf eine Folge (oder funktion) ist nur dann differenzierbar, wenn
man den dazu zeichnenden graph in einem strich durchzeichnen kann (salopp gesagt) Oder ist die Stetigkeit doch anders definiert??
(laut vorlesung übrigens noch garnicht definiert also muss das anders gehen.. und das tuts)
und wenn ich mir diese Folge als Funktion betrachte.. ist dies nicht möglich.. kann ja für n nur die natürlichen Zahlen einsetzen also entsteht dazu höchstens eine Zuordnung mit Punkten aber keine Stetige Funktion?
denn ein richtiges Maximum hat die die obere Funktion ja garnicht.
Betrachtet man das nämlich mit dem Limes (obwohlman das nicht tun soll) sieht man, dass für n [mm] \in \IN [/mm] das Supremum bei 2 liegt es aber nur asympotitsch angenähert wird und bei n = 0 den wert 0 (infimum) erreicht...
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> Ist denn f(n) überhaupt differenzierbar?
Hallo,
natürlich ist das nicht diffbar.
Bei der geschilderten Vorgehensweise erweitert man den Def. bereich auf [mm] \IR_+, [/mm] und dann kann man es so machen wie beschrieben.
Es geht dabei nicht um einen beweis fürs Inf oder Sup, sondern darum, welche Möglichkeiten man hat, bei vorgegebenen Mengen festzustellen, wo es liegt.
> Nein oder? weil das doch garnicht stetig ist.. also ich hab
> irgendwie
> im Kopf eine Folge (oder funktion) ist nur dann
> differenzierbar, wenn
> man den dazu zeichnenden graph in einem strich
> durchzeichnen kann (salopp gesagt) Oder ist die Stetigkeit
> doch anders definiert??
Ja. ich sage als Stichwort [mm] \varepsilon-\delta [/mm] - kriterium, möchte darauf aber in diesem Thread nicht weiter eingehen.
Die Funktion ist stetig. Diffbar ist sie nicht.
Das mit dem "Strich durchziehen" gilt für Funktionen, die auf Intervallen definiert sind. Da dürfen keine Sprünge sein.
> (laut vorlesung übrigens noch garnicht definiert also muss
> das anders gehen.. und das tuts)
Ja sicher!
Es ging (jedenfalls für mich) darum, wie man zu seinen zu beweisenden Behauptungen gelangen kann (!).
Gruß v. Angela
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super danke. Ich war schon etwas verwirrt und erschrocken. :)
Aber fühle mich nun in meiner Vorgehensweise bestätigt.
Nochmals vielen Dank für eure mühsame Hilfe! :)
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