supremum, infimum mit betrag? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich soll folgende Aufgabe lösen :
M:= { [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] t [mm] \varepsilon [/mm] R } das t im zähler sowie im nenner soll ich betragszeichen stehen!!
hierfür soll ich das inf,sup,min,max bzw. deren nichtexistenz bestimmen ( ohne beweis! ).
Doch leider weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll, da mich die betragszeichen völlig irriteiren :( wer kann mir helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Du meinst also [mm] \frac{|t|}{1 + |t|} \qquad t \in \IR [/mm] ?
Der Betrag wandelt jede negative Zahl in eine positive Zahl um, indem das Vorzeichen einfach wegfaellt, positive Zahlen bleiben unveraendert.
Bsp:
[mm]|3.45| = 3.45[/mm]
[mm]|-3.45| = 3.45[/mm]
[mm]|0| = 0[/mm]
[mm]|-0.73| = 0.73[/mm]
...
setzt mal fuer t folgende Zahlen ein und schreib zurueck was rauskommt und was dir auffaellt:
-2; -1.5; -1; -0.5; 0; 0.5; 1; 1.5; 2;
vielleicht auch dann groessere Schritte
-200; -100; 0; 100; 200
vielleicht kannst du schon mal eine Vermutung anstellen, wie sich die Zahlenwerte verhalten werden
lG
Peter
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Hallo!
Also folgendes bekomme ich raus :
[mm] \bruch{2}{3}, \bruch{1,5}{2,5}, \bruch{1}{2}, \bruch{0,5}{1,5}, \bruch{0}{1} [/mm] , [mm] \bruch{0,5}{1,5}, \bruch{1}{2}, \bruch{1.5}{2,5}, \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{200}{201}, \bruch{100}{101} [/mm] , [mm] \bruch{0}{1}, \bruch{100}{101}, \bruch{200}{201}
[/mm]
Was auffält ist dass ich für -1 und 1 dieselben werte erhalte ebenso wie für alle anderen positiven / negativen zahlen und dass eben der nenner immer um eins größer ist al der zähler...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, klar. Da die Funktion $f(t) = [mm] \frac{|t|}{1+|t|}$ [/mm] achsensymmetrisch ist, genügt es sie auf [mm] $\IR^+=[0,+\infty[$ [/mm] zu betrachten, also:
$f(t) = [mm] \frac{t}{1+t}$.
[/mm]
Dort ist die Funktion streng monoton wachsend.
Da das Intervall links abgeschlossen ist, existiert das Minimum. Es ist gleich $f(0)=0$, und natürlich gleich dem Infimum.
Wie sieht es jetzt mit Supremum und Maximum aus?
Viele Grüße
Julius
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ein supremum gibt es gar nicht, da die funktion nach oben hin unbeschränkt ist. würde ich sagen....
demnach gibt es auch kein maximum. oder??
Habe da auch noch eine weitere frage zu einer anderen aufgabe:
[mm] 4
auch hier weiß ich nicht wie ich vorgehen soll :(
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Hallo rotespinne!
> ein supremum gibt es gar nicht, da die funktion nach oben
> hin unbeschränkt ist. würde ich sagen....
> demnach gibt es auch kein maximum. oder??
Schreibe Deine Funktion mal um
(ich betrachte jetzt nur den positiven Ast):
$f(t) \ = \ [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{1}+t\blue{-1}}{1+t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+t}{1+t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+t} [/mm] \ = \ 1 - [mm] \bruch{1}{1+t}$
[/mm]
Und, änderst Du vielleicht jetzt Deine Meinung über "unbeschränkt" und "Supremum" ?
> Habe da auch noch eine weitere frage zu einer anderen aufgabe:
>
> [mm]4
>
> auch hier weiß ich nicht wie ich vorgehen soll
Wie lautet denn die Frage bzw. die Aufgabe?
Wenn Du hier nach x auflösen sollst, einfach die Wurzel auf beiden Seiten ziehen:
$4 \ < \ [mm] x^2$ $\gdw$ $\wurzel{4} [/mm] \ = \ 2 \ < \ |x|$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ -2 \ \ [mm] \vee [/mm] \ \ x \ > \ +2$
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
zu dem problem mit dem supremum. ich habe nun mal eine wertetabelle angelegt. dort sehe ich, dass die werte zunehmen je größer t wird ( bei dem positiven ast! ).
aber meine frage : ist denn das supremum dann die größte zahl oder die kleinste?
bei 0 bekomme ich null raus. bei 1 o,5, bei 2 2/3 ect.
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Hallo Anna!
Das Supremum ist eine obere Schranke, d.h. ein Zahlenwert, der größer ist als alle Zahlen der Funktion/Folge.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") . . . . ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: Supremum
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
also ist in diesem falle mein größter wert das supremum? aber da ist ein problem, den größten wert kann ich ja gar nicht definieren. oder stehe ich jetzt auf dem schlauch???
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Hallo Anna!
Du hast Recht, unsere Funktion $f(t)$ hat kein Maximum!
Dennoch ist sie nach oben beschränkt (sprich: $f(t)$ hat ein Supremum). Dieser Wert wird nie genau erreicht, jedoch nähern wir uns für $t [mm] \rightarrow \pm \infty$ [/mm] diesem Supremum beliebig nahe an.
Der Wert dieses Supremums beträgt ja nun 1.
Nun etwas klar(er) geworden?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
ich war nur etwas verwirrt, weil oben jemand geschrieben hatte es gäbe doch ein maximum!
Also stimmt es nun, dass sie kein MAXIMUM hat, da sie quasi unendlich ist ?
Aber dann verstehe ich nicht so ganz wo das supremum herkommT?
DANKE!
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Hallo Anna!
> ich war nur etwas verwirrt, weil oben jemand geschrieben
> hatte es gäbe doch ein maximum!
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Das habe ich jetz auf die Schnelle nicht gefunden.
Es gibt ein Minimum steht irgendwo ...
> Also stimmt es nun, dass sie kein MAXIMUM hat, da sie
> quasi unendlich ist ?
> Aber dann verstehe ich nicht so ganz wo das supremum
> herkommT?
Vielleicht macht Dir dieses Bild das etwas anschaulicher ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo rotespinne!
Wenn Dich "lediglich" die Betragsstriche irritieren, so kannst Du diese entfernen, indem Du die Definition der Betragsfunktion anwendest:
[mm] |x|:=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Damit wird doch für Deine Funktion:
[mm] f(t)=\bruch{|t|}{1+|t|}=\begin{cases} \bruch{t}{1+t} , & \mbox{für } t \ \ge \ 0 \mbox{} \\ \bruch{t}{t-1} , & \mbox{für } t \ < \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Nun sind die "irritierenden" Betragsstriche weg ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
@roadrunner:
wenn t [mm] \ge [/mm] 0 ist gebe ich dir recht dass dann dort steht [mm] \bruch{t}{1+t}
[/mm]
aber wenn t [mm] \le [/mm] 0 ist müsste es dann nicht heißen [mm] \bruch{-t}{-t+1} [/mm] ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Di 28.06.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Anna!
Klammere im Nenner mal (-1) aus und kürze anschließend ...
Was erhältst Du?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
Stimmt, sorry, soweit habe ich gar nicht gedacht!
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| Aufgabe | | [mm] B=\{\bruch{n}{n+|1|}\} [/mm] wobei n [mm] \in \IN [/mm] |
hallo erstmal und danke für die tollen erklärungen, die haben mir wirklich geholfen...
Also ist bei meiner aufgabe inf M = 1/2 weil ich 0 nicht zu N zähle und das sup M = 1
Bin ich soweit richtig unterwegs oder bin ich komplett auf dem holzweg? herzlichen dank für eure hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Do 17.10.2013 | | Autor: | marc518205 |
Herzlichen dank für die schnelle antwort, in der tat meinte ich das, was du geschriegen hast 
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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