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| Aufgabe | | ich suche eine summenformel für [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i} [/mm] |
ich schreibe meine facharbeit in mathe über vollständige induktion. dies hier würde ich gerne als eine aufgabe dabei nehmen, aber ich finde einfach keine summenformel dazu...
bzw. ich habe das ganze schon nen bisschen umgeformt... eine summenformel für 1!+2!+...n! würde mir auch genügen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Tyr7 |
Hallo,
diese Reihe, die Du beschreibst, wird auch Harmonische Reihe genannt und bei Wiki kannst Du paar Sachen dazu finden:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe
Wahrscheinlich gibt es dafür keine einfache Summenformel...
Viele Grüße
Tyr
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Hallo si.D.,
Zwar habe ich keine Summenformel für [mm]\textstyle\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}[/mm] für dich, aber ich habe mich da an einen Artikel erinnert, wo Gottfried Wilhelm Leibniz deine Summe verwendet, um den Grenzwert zu einer unendlichen Reihe "herzuleiten". Gleich sehen wir auch, daß das Ergebnis stimmen muß, denn im Endlichen sollte Gottfrieds Herleitung richtig sein. Damit gilt letztlich:
[mm]\sum_{i=2}^n{\frac{1}{i}} + \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i(i+1)}} = \sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{i}} + \frac{1}{n(n+1)} \gdw \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}} + \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i(i+1)}} - 1 = \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)}[/mm]
[mm]\gdw \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i(i+1)}} = \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n}+1 = \frac{n-n^2-n}{n^2(n+1)} + 1 = 1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}[/mm]
Wegen [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{1+\frac{1}{n}}} = 1[/mm] stimmte also seine Herleitung.
Jetzt schlage ich dir vor, dich nicht weiter mit deiner Summe zu quälen, weil diese scheinbar doch ein schwerer Brocken zu sein scheint  , sondern eher mit Induktion zu zeigen, daß [mm]\textstyle\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i(i+1)}} = \frac{n}{n+1}[/mm] gilt.
Die Induktion ist hier nicht zu kurz aber auch nicht sonderlich lang. Du erhälst dort einmal eine quadratische Gleichung, die es zu faktorisieren gilt. Das sollte aber auch die einzige Schwierigkeit sein. [mm]\Box[/mm]
Viele Grüße
Karl
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