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summe lin. unabh. vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 Mo 14.01.2013
Autor: elmanuel

Aufgabe
Sei V VR über [mm] \IR. v_1,v_2,v_3 \in [/mm] V
[mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] sind lin. unabh.
Zeige [mm] (v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_1) [/mm] ebenfalls lin. unabh.

Hallo liebe Gemeinde!

Hier mein Versuch:

wissen

[mm] \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3 [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm]

[mm] \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3 [/mm] =0
-

[mm] \mu_1 (v_1+v_2)+ \mu_2 (v_2+v_3) [/mm] + [mm] \mu_3 (v_3+v_1) [/mm] =0
[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \mu_1 v_1 [/mm] + [mm] mu_2 v_2 [/mm] + [mm] \mu_3 v_3 [/mm]   +  [mm] \mu_3 v_1 [/mm] +  [mm] mu_1 v_2 [/mm] + [mm] \mu_2 v_3 [/mm] =0

wissen [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] lin. unabh.
[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \mu_1=\mu_2=\mu_3=0 [/mm]

kann ich so argumentieren?
        
Bezug
summe lin. unabh. vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Mo 14.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo elmanuel,


> Sei V VR über [mm]\IR. v_1,v_2,v_3 \in[/mm] V
>  [mm](v_1,v_2,v_3)[/mm] sind lin. unabh.
> Zeige [mm](v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_1)[/mm] ebenfalls lin. unabh.
>  Hallo liebe Gemeinde!
>  
> Hier mein Versuch:
>  
> wissen
>  
> [mm]\lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2[/mm] + [mm]\lambda_3 v_3[/mm] =0
>  [mm]\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] [ok]
>  
> [mm]\lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2[/mm] + [mm]\lambda_3 v_3[/mm] =0
>  -
>  
> [mm]\mu_1 (v_1+v_2)+ \mu_2 (v_2+v_3)[/mm] + [mm]\mu_3 (v_3+v_1)[/mm] =0
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]\mu_1 v_1[/mm] + [mm]mu_2 v_2[/mm] + [mm]\mu_3 v_3[/mm]   +  [mm]\mu_3 v_1[/mm] +  [mm]mu_1 v_2[/mm]
> + [mm]\mu_2 v_3[/mm] =0

Sortiere nach den [mm]v_i[/mm], also [mm](\mu_1+\mu_3)v_1+(\mu_1+\mu_2)v_2+(\mu_2+\mu_3)v_3=0[/mm]


>  
> wissen [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] lin. unabh.
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\mu_1=\mu_2=\mu_3=0[/mm]

Erstmal [mm]\mu_1+\mu_3=0 \ \wedge \ \mu_1+\mu_2=0 \ \wedge \ \mu_2+\mu_3=0[/mm]

Wenn du dieses LGS mal auflöst, sollte [mm]\mu_1=\mu_2=\mu_3=0[/mm] rauskommen ...

>  
> kann ich so argumentieren?

Man sieht irgendwie nicht deutlich, wie du auf [mm] $\mu_1=\mu_2=\mu_3=0$ [/mm] kommst, besser sortieren wie beschrieben und dann die l.U. der [mm] $v_i$ [/mm] ausnutzen.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
summe lin. unabh. vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Mo 14.01.2013
Autor: elmanuel

stimmt so ist es schöner!

danke schachzipus!
Bezug
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