\summe_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Mo 16.04.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | zeige: [mm] \summe_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k [/mm] = [mm] n^n/n!
[/mm]
für alle n>=2 |
Hallo liebe Gemeinde!
Anfang passt bei mir mit n=2; 2=2 -> wahr
Schritt n->n+1 komme ich durch addieren von [mm] (1+(1/n))^n [/mm] auf das richtige wenn ich zeigen kann das (n+1)^(n+1) = [mm] (n+1)(n^n+n!(1+(1/n))^n)
[/mm]
wie ich aber zeigen kann das (n+1)^(n+1) = [mm] (n+1)(n^n+n!(1+(1/n))^n)
[/mm]
da hänge ich gerade gewaltig...
bin für jeden tipp dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zeige: [mm]\summe_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k[/mm] = [mm]n^n/n![/mm]
> für alle n>=2
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Anfang passt bei mir mit n=2; 2=2 -> wahr
>
> Schritt n->n+1 komme ich durch addieren von [mm](1+(1/n))^n[/mm] auf
> das richtige wenn ich zeigen kann das (n+1)^(n+1) =
> [mm](n+1)(n^n+n!(1+(1/n))^n)[/mm]
>
> wie ich aber zeigen kann das (n+1)^(n+1) =
> [mm](n+1)(n^n+n!(1+(1/n))^n)[/mm]
> da hänge ich gerade gewaltig...
>
> bin für jeden tipp dankbar!
ich weiß nicht, ob das funktioniert, aber bevor ich hier eine Induktion probieren würde, würde ich erstmal testen, ob nicht die Verwendung von
[mm] $$\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\sum_{m=0}^k [/mm] {k [mm] \choose m}\frac{1}{k^m}$$ [/mm]
hier hilft...
Kann aber auch sein, dass das gar nichts bringt.. ich lasse daher Deine Frage mal auf teilweise beantw. stehen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Di 17.04.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
stimmt die Gleichung denn überhaupt?
> zeige: [mm]\summe_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k[/mm] = [mm]n^n/n![/mm]
> für alle n>=2
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Anfang passt bei mir mit n=2; 2=2 -> wahr
n=3:
[mm]\summe_{k=1}^{3-1}(1+(1/k))^k=\summe_{k=1}^{2}(1+(1/k))^k=\left ( 1+\bruch{1}{1} \right )^1+\left ( 1+\bruch{1}{2} \right )^2=2+\left ( \bruch{3}{2} \right )^2=2+ \bruch{9}{4} =\bruch{8}{4}+ \bruch{9}{4}=\bruch{17}{4}[/mm]
Sehr ausführlich, aber da mir gleich die Augen zufallen ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]") , will ich so versuchen, Fehlerquellen auf ein Minimum zu begrenzen.
Rechte Seite: n=3
[mm]\bruch{3^3}{3!}=\bruch{3*3*3}{3*2*1}=\bruch{9}{2}[/mm]
[mm]\bruch{17}{4}\not=\bruch{9}{2}[/mm]
Ich lasse mich da aber auch eines anderen belehren.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Di 17.04.2012 | | Autor: | elmanuel |
> Hallo,
>
> stimmt die Gleichung denn überhaupt?
>
>
> > zeige: [mm]\summe_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k[/mm] = [mm][mm] n^n/n!
[/mm]
huch *hehe* MEA CULPA!
ich habe mich in der angabe verlesen... es ist nicht die summe sondern das produkt... also:
zeige: [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k[/mm] = [mm][mm] n^n/n!
[/mm]
da hätt ich lange suchen können...
also alles da capo!
werd mal sehen ob es so besser klappt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Di 17.04.2012 | | Autor: | barsch |
> ich habe mich in der angabe verlesen... es ist nicht die summe sondern das > produkt... also:
> zeige: [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k[/mm] = [mm]n^n/n![/mm]
Das haut mit Induktion sehr schön hin!
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> zeige: [mm]\summe_{k=1}^{n-1}(1+(1/k))^k[/mm] = [mm]n^n/n![/mm]
> für alle n>=2
> Hallo liebe Gemeinde!
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> Anfang passt bei mir mit n=2; 2=2 -> wahr
>
> Schritt n->n+1 komme ich durch addieren von [mm](1+(1/n))^n[/mm] auf
> das richtige wenn ich zeigen kann das (n+1)^(n+1) =
> [mm](n+1)(n^n+n!(1+(1/n))^n)[/mm]
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> wie ich aber zeigen kann das (n+1)^(n+1) =
> [mm](n+1)(n^n+n!(1+(1/n))^n)[/mm]
> da hänge ich gerade gewaltig...
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> bin für jeden tipp dankbar!
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Barsch hat recht. Für n=3 stimmts nicht. Ebenso für n=4.
FRED
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