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| Aufgabe | Sei a eine reele postivie Zahl.
Zeige [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(a+k)*(a+k+1)} =\bruch{1}{a} [/mm] |
kann mir hier jm nur ein stichwort geben, wie ich hier vorgehen kann?
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Hallo weihnachtsman!
Führe folgende  Partialbruchzerlegung durch:
[mm] $$\bruch{1}{(a+k)*(a+k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{a+k}+\bruch{B}{a+k+1}$$
[/mm]
Damit erhältst Du eine sogenannte "Teleskopsumme", bei der sich fast alle Summenglieder eliminieren.
Gruß vom
Roadrunner
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hab mir den link mal zur partialbruchzerlegung durchgelesen...
eigentlich hatte ich das noch in den vorlesungen nicht gehabt... dürfte das ja dann auch nicht verwenden... gibt es noch andere wege?
ist das hier eine reihe, die gegen 1/a konvergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mi 02.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich hatte Partialbruchzerlegung auch nie in der Vorlesung, musste sie dennoch schon oft benutzen.
Ich glaube es wird vorausgesetzt, dass man eine Partialbruchzerlegung durchführen kann. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
MfG barsch
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Hallo weihnachtsman!
> eigentlich hatte ich das noch in den vorlesungen nicht
> gehabt... dürfte das ja dann auch nicht verwenden... gibt
> es noch andere wege?
Hier sehe ich keinen anderen Lösungsweg.
> ist das hier eine reihe, die gegen 1/a konvergiert?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß vom
Roadrunner
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> [mm]\bruch{1}{(a+k)*(a+k+1)} \ = \ \bruch{A}{a+k}+\bruch{B}{a+k+1}[/mm]
irgenwie verstehe ich das nicht wie das gleich sein kann:
[mm] \bruch{A}{a+k}+\bruch{B}{a+k+1}=\bruch{A(a+k+1)+B(a+k)}{(a+k)*(a+k+1)}
[/mm]
Müsste ich dass A und B so wählen, dass der Zähler 1 wird? Eigentlich schon oder
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Hallo weihnachtsman!
Fasse mal im Zähler zusammen und sortiere etwas die Glieder mit $k_$ und den Rest:
$$A*(a+k+1)+B*(a+k) \ = \ ... \ = \ [mm] \red{(...)}*k+\blue{(...)}$$
[/mm]
Anschließend einen Koeffizientenvergleich mit $1 \ = \ [mm] \red{0}*k+\blue{1}$ [/mm] durchführen.
Damit solltest Du dann $A \ = \ 1$ sowie $B \ = \ -1$ erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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ich habe also:
[mm] \bruch{1}{a+k}-\bruch{1}{a+k+1}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{a}-\bruch{1}{a+1})+(\bruch{1}{a+1}-\bruch{1}{a+2})+...+(\bruch{1}{a+oo}-\bruch{1}{a+2*oo})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{a}-\bruch{1}{a+2*oo}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{a} [/mm] , weil [mm] \bruch{1}{a+2*oo} [/mm] gegen 0 konvergiert
Kann man das schreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, das kannst du so nicht schreiben, da es sich hier um eine Reihe handelt.
Wenn du argumentierst, dass es sich bei dieser Reihe in der Umschreibung der Reihenglieder, wie du es mit der Partialbruchzerlegung gemacht hast, um eine Teleskopsumme handelt und dann die Konsequenzen ziehst, kanns tdu zeigen, dass der Grenzwert 1/a ist. So kannst du das allerdings nicht beweisen.
LG
Kroni
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