sublin. funktional ind. Metrik < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien X ein linearer Raum über [mm] \IR [/mm] und p: X [mm] \to \IR [/mm] ein sublineares Funktional. Zeigen Sie dann, das (X, d) ein pseudometrischer linearer Raum ist, wobei d: d(x,y) = max {p(x-y), p(y-x)} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich möchte die Dreiecksungleichung für d zeigen. Dabei fehlt mir die passende Idee, eine erfolgreiche Abschätzung durchzuführen. Wie kann ich wo verwenden, dass p ein sublineares Funktional ist? Bzw. wie forme ich das Maximum um. Meine erste Ideen, die bisher nicht zum Ziel führten, waren:
d(x,y)=max{p(x-y),(y-x)} <= |p(x-y)| + |p(y-x)| ...
weiterhin habe ich ueberliegt, ob es nützlich wäre, eine künsliche "0" hinzuzugügen, z.B.
|p(x-y) + p(x-z) - p(x-z)|, finde dann aber keine Abschätzung, die zum Ziel führt.
Hat jemand einen Tipp für mich? Lässt sich vielleicht eine Variante des Satzes von Hahn-Banach ihr anwenden?
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Hi,
> Seien X ein linearer Raum über [mm]\IR[/mm] und p: X [mm]\to \IR[/mm] ein
> sublineares Funktional. Zeigen Sie dann, das (X, d) ein
> pseudometrischer linearer Raum ist, wobei d: d(x,y) = max
> {p(x-y), p(y-x)}
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich möchte die Dreiecksungleichung für d zeigen. Dabei
> fehlt mir die passende Idee, eine erfolgreiche Abschätzung
> durchzuführen. Wie kann ich wo verwenden, dass p ein
> sublineares Funktional ist? Bzw. wie forme ich das Maximum
> um. Meine erste Ideen, die bisher nicht zum Ziel führten,
> waren:
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> d(x,y)=max{p(x-y),(y-x)} <= |p(x-y)| + |p(y-x)| ...
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> weiterhin habe ich ueberliegt, ob es nützlich wäre, eine
> künsliche "0" hinzuzugügen, z.B.
> |p(x-y) + p(x-z) - p(x-z)|, finde dann aber keine
> Abschätzung, die zum Ziel führt.
die idee mit der kuenstlichen 0 ist doch nicht so schlecht. versuchs mal so
[mm] $d(x,z)=\max\{p(x-z),p(z-x)\}=\max\{p(x-y+y-z),p(z-y+y-x)\}$
[/mm]
dann kannst du die sublinearitaet von p ins spiel bringen und solltest das gewuenschte erreichen.
gruss
matthias
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hey matthias! vielen dank fuer deinen hinweis:)
hab's dann heut raus bekommen!!
danke schoen!!! sehr nett von dir.
der lars.
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mir kam da noch eine Frage auf:
wenn ich gezeigt habe, dass d eine Pseudometrik ist, bin ich dann schon fertig? oder muss ich noch zeigen, dass die Addtion und skalare Multiplikation bezüglich d stetig sind? falls ja, wie mich das denn?
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> mir kam da noch eine Frage auf:
> wenn ich gezeigt habe, dass d eine Pseudometrik ist, bin
> ich dann schon fertig? oder muss ich noch zeigen, dass die
> Addtion und skalare Multiplikation bezüglich d stetig sind?
wieso denkst du das? meines wissens reicht es zu zeigen, dass $d$ pseudometrik ist. Wie habt ihr denn PsM raum definiert?
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gerade die definition ist es, die mich jetzt darueber gruebeln laesst:
Ein Paar [mm]( (X, +, (\alpha \cdot)_{\alpha \in K}), T)[/mm] aus einem linearem Raum [mm](X, +, (\alpha \cdot)_{\alpha \in K})[/mm] und einer Teilmenge [mm]T \subseteq 2^{X}[/mm] heißt topologischer linearer Raum, wenn [mm](X,T)[/mm] ein topologischer Raum ist und:
[mm]X \times X \rightarrow X[/mm]
[mm](x,y) \mapsto x + y[/mm]
und
[mm]K \times X \rightarrow X[/mm]
[mm](\alpha, x) \mapsto \alpha \cdot x[/mm]
mit den kanonischen Topologie von K und den entsprechenden Produkttopologien stetig sind. Ist die Topologie durch eine (Pseudo-)Metrik [mm] d_{x} [/mm] erzeugt, sprechen wir von einem (pseudo-)metrischen Raum und schreiben [mm]( (X, +, (\alpha \cdot)_{\alpha \in K}), d_{X})[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Mi 05.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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