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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 So 03.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Aufgabe mit subharmonisch:
Es sei [mm] G\subset \IC [/mm] ein Gebiet. Zeige
* Falls u harmonisch ist, dann sind [mm] u^2 [/mm] und [mm] (\bruch{\partial{u}}{\partial{x}})^2+(\bruch{\partial{u}}{\partial{y}})^2 [/mm] subharmonisch.
* Falls u subharmonisch ist, und [mm] \varphi [/mm] ist convex auf einem offenen Intervall, das u(G) enthält, dann ist auch [mm] \varphi°u [/mm] subharmonisch.
* Sind [mm] \varphi_1, \varphi_2 [/mm] subharmonisch, dann ist auch [mm] max\{\varphi_1,\varphi_2\} [/mm] subharmonisch.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich beweise zunächst den folgenden Satz (schlampe dabei ein paar Voraussetzungen, etc. aus Zeitgründen):
a) Ist $u$ harmonisch und [mm] $\varphi: [/mm] D [mm] \supset [/mm] u(G) [mm] \to \IR$ [/mm] konvex, dann ist [mm] $\varphi \circ [/mm] u$ subharmonisch.
b) Ist $u$ subharmonisch und [mm] $\varphi: [/mm] D [mm] \supset [/mm] u(G) [mm] \to \IR$ [/mm] konvex und monoton steigend, dann ist [mm] $\varphi \circ [/mm] u$ subharmonisch.
Zu a) Da $u$ harmonisch ist, genügt $u$ für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und alle $r>0$ der Mittelwertgleichung:
$u(z) = [mm] \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$.
[/mm]
Nun folgt aus der Konvexität von [mm] $\varphi$ [/mm] mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung:
[mm] $\varphi(u(z)) [/mm] = [mm] \varphi \left( \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi} \right) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi(u(z+re^{it})) \frac{dt}{2\pi}$,
[/mm]
also die Behauptung mit Hilfe der anderen Aufgabe.
Zu b) Da $u$ subharmonisch ist, genügt $u$ für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und alle $r>0$ der Mittelwertungleichung:
$u(z) [mm] \le \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$.
[/mm]
Nun folgt aus der Monotonie und Konvexität von [mm] $\varphi$ [/mm] mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung:
[mm] $\varphi(u(z)) \le \varphi \left( \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi} \right) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi(u(z+re^{it})) \frac{dt}{2\pi}$,
[/mm]
also die Behauptung mit Hilfe der anderen Aufgabe.
> Es sei [mm]G\subset \IC[/mm] ein Gebiet. Zeige
> * Falls u harmonisch ist, dann sind [mm]u^2[/mm] und
> [mm](\bruch{\partial{u}}{\partial{x}})^2+(\bruch{\partial{u}}{\partial{y}})^2[/mm]
> subharmonisch.
Zum zweiten Teil weiß ich gerade nichts. Der erste Teil folgt aus dem obigen Satz, denn [mm] $\varphi(x)=x^2$ [/mm] ist konvex.
> * Falls u subharmonisch ist, und [mm]\varphi[/mm] ist convex auf
> einem offenen Intervall, das u(G) enthält, dann ist auch
> [mm]\varphi°u[/mm] subharmonisch.
Die Behauptung ist im Allgemeinen falsch. Nimmt man aber [mm] $\varphi$ [/mm] zusätzlich als monoton wachsend an, dann ist dies die Behauptung b) aus dem obigen Satz.
> * Sind [mm]\varphi_1, \varphi_2[/mm] subharmonisch, dann ist auch
> [mm]max\{\varphi_1,\varphi_2\}[/mm] subharmonisch.
Da [mm] $\varphi_1$ [/mm] und [mm] $\varphi_2$ [/mm] subharmonisch sind, genügen [mm] $\varphi_1$ [/mm] und [mm] $\varphi_2$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und alle $r>0$ der Mittelwertungleichung:
[mm] $\varphi_1(z) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi_1(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$,
[/mm]
[mm] $\varphi_2(z) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi_2(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$.
[/mm]
Dann folgt aber auch:
[mm] $\max(\varphi_1(z) [/mm] , [mm] \varphi_2(z)) [/mm] = [mm] \max\left( \int\limits_0^{2\pi} \varphi_1(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}, \int\limits_0^{2\pi} \varphi_2(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}\right) \le \int\limits_0^{2\pi} \max(\varphi_1(z+re^{it}),\varphi_2(z+re^{it}))\, \frac{dt}{2\pi}$.
[/mm]
Daraus ergibt sich mit der anderen Aufgabe wiederum die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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