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subharmonisch: Aufgabe Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:22 Mo 10.01.2011
Autor: mathestudent3

Aufgabe
Sei [mm] \Omega \subset R^{n} [/mm] ein beschränktes Gebiet und [mm] u\in C^{3} [/mm] ( [mm] \Omega [/mm] ) und harmonisch, so ist w:= [mm] |\nabla u|^{2} [/mm] subharmonisch.


Mein erstes Problem ist hier wie ich mit dem Betragsquadrat umgehen soll. Da [mm] \nabla [/mm] u ein Vektor ist denke ich dass [mm] w:=(\bruch{\partial u}{\partial x_{1}})^{2}+...+(\bruch{\partial u}{\partial x_{n}})^{2} [/mm] sein sollte.

Ich habe mir das ganze mal für n=1 überlegt:

[mm] (\bruch{\partial w}{\partial x})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}) [/mm]
und
[mm] (\bruch{\partial^{2} w}{\partial x^{2}})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}})+2*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})^{2} [/mm]

Laut Angabe ergibt [mm] \Delta [/mm] u = 0. Damit fällt der zweite Term weg. Da er quadratisch ist wäre es aber auch egal, da ich zeigen muss, dass [mm] \Delta w\ge [/mm] 0 ist.

Die Frage ist nun was ich mit dem zweiten Term mache?! gibt es eine Bedingung die angibt, dass [mm] (\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}) \ge [/mm] 0 ist?!

        
Bezug
subharmonisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Mo 10.01.2011
Autor: mathestudent3

hab es jetzt schon selber rausgefunden. hier ist die erste ableitung schon 0. und bei n>1 kann man rausheben und es geht sich wieder aus!

Trotzdem Danke!

Bezug
        
Bezug
subharmonisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Mo 10.01.2011
Autor: meili

Hallo,

> Sei [mm]\Omega \subset R^{n}[/mm] ein beschränktes Gebiet und [mm]u\in C^{3}[/mm]
> ( [mm]\Omega[/mm] ) und harmonisch, so ist w:= [mm]|\nabla u|^{2}[/mm]
> subharmonisch.
>  
> Mein erstes Problem ist hier wie ich mit dem Betragsquadrat
> umgehen soll. Da [mm]\nabla[/mm] u ein Vektor ist denke ich dass
> [mm]w:=(\bruch{\partial u}{\partial x_{1}})^{2}+...+(\bruch{\partial u}{\partial x_{n}})^{2}[/mm]
> sein sollte.

[ok]
Ja,  wenn der normale Betrag eines Vektors x = [mm] $(x_1, \ldots, x_n)^T$ [/mm]  |x| = [mm] $\wurzel{x_1^2+ \ldots + x_n^2}$ [/mm] ist, so ist  [mm]w:=(\bruch{\partial u}{\partial x_{1}})^{2}+...+(\bruch{\partial u}{\partial x_{n}})^{2}[/mm].

>  
> Ich habe mir das ganze mal für n=1 überlegt:
>  
> [mm](\bruch{\partial w}{\partial x})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})[/mm]
>  
> und
>  [mm](\bruch{\partial^{2} w}{\partial x^{2}})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}})+2*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})^{2}[/mm]
>  
> Laut Angabe ergibt [mm]\Delta[/mm] u = 0. Damit fällt der zweite
> Term weg. Da er quadratisch ist wäre es aber auch egal, da
> ich zeigen muss, dass [mm]\Delta w\ge[/mm] 0 ist.
>  
> Die Frage ist nun was ich mit dem zweiten Term mache?! gibt
> es eine Bedingung die angibt, dass [mm](\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}) \ge[/mm]
> 0 ist?!

Sorry, hab mich bei dieser Aufgabe irgendwie vertan.

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
subharmonisch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Mi 12.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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