stoppzeit in diskreter Zeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 30.09.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo
Wenn wir den Zeitparamter als diskret annehmen, i.e. [mm] $t=0,1,2,\dots$, [/mm] dann heist eine Abbildung [mm] $\tau:\Omega \to \mathbb{N}\cup \infty$ [/mm] Stoppzeit, wenn [mm] $\{\tau\le n\} \in \mathcal{F}_n$, [/mm] wobei hier wie üblich [mm] $(\Omega,\mathcal{F},P)$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum ist und [mm] $(\mathcal{F}_n)$ [/mm] eine Filtration. Nun würde mich interessieren wieso die Definition äquivalent sein soll [mm] zu:$\{\tau=j\}\in \mthcal{F}_j$ [/mm] für alle $j$. Klar ist ein Richtung: Wenn [mm] $\{\tau=j\}\in \mathcal{F}_j$, [/mm] dann gilt [mm] $\{\tau\le n\}=\cup_{j=0}^n\{\tau=j\}$, [/mm] wobei letzteres nach Annahme messbar ist. Wieso folgt aber aus [mm] $\{\tau\le n\}\in \mathcal{F}_n$, [/mm] dass [mm] $\{\tau=j\}\in \mathcal{F}_j$ [/mm] ist?
Danke und gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Do 18.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo physicus,
> Wieso folgt aber aus
> [mm]\{\tau\le n\}\in \mathcal{F}_n[/mm], dass [mm]\{\tau=j\}\in \mathcal{F}_j[/mm]
> ist?
Wegen [mm] $\{\tau=j\}=\begin{cases} \{\tau\le 0\} & \text{für }j=0\\ \{\tau\le j\}\setminus\underbrace{\{\tau\le j-1\}}_{\in\mathcal{F}_{j-1}\subseteq\mathcal{F}_j} & \text{für }j>0\end{cases}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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