stochastisch äquivalente ZV´s < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo allerseits,
sitze an folgende Aufgabe, bei der ich nicht voran komme:
Sei X, Y zwei reele Zufallsvariable mit dem gemeinsamen W-Raum [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] und P(X=Y)=1. Dann nennt man X und Y stochastisch äquivalent. Zeige, dass X und Y dieselbe Verteilung besitzen.
Angenommen X und Y sind stetige ZV´s. Dann muss man wohl zeigen, dass die Dichten [mm] f^X [/mm] und [mm] f^Y [/mm] identisch sind bzw.
[mm] \integral_{-\infty}^{b}{f^X(x) dx}-\integral_{-\infty}^{b}{f^Y(y) dy}=0
[/mm]
Allerdings komme ich hier nicht drauf, wie ich die Voraussetzung P(X=Y)=1 anwenden soll. Wäre schön wenn jemand einen Tipp/Hinweis für mich hätte.
Gruß Kopfkirmes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 14.06.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
vorausgesetzt ist ja
[mm]P[X=Y]=P[X(\omega)=Y(\omega)]=1[/mm], dass heißt die ZV's $X$ und $Y$ können sich nur auf Nullmengen (also Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] die mit Wahrscheinlichkeit 0 eintreten) unterscheiden.
für alle [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] mit [mm] $P[\{\omega\}]>0$ [/mm] gilt also $X=Y$.
hilft dir dass schon? wie sieht denn jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür aus, dass z.B. $X<x$ und dann die dass $Y<x$ ??????
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kopfkirmes |
Vielen Dank für den Tipp!
Sei also [mm] k\in\IR [/mm] . [mm] P[X\le{k}]-P[Y\le{k}]=(P[X\le{k}\wedge{X}\not={Y}]+P[X\le{k}\wedge{X}={Y}])-(P[Y\le{k}\wedge{Y}\not={X}]+P[Y\le{k}\wedge{Y}={X}]).
[/mm]
Mit der Eigenschaft dass [mm] \{X\not=Y\} [/mm] Nullmengen sind und [mm] \{X\le{k}\wedge{X}={Y}\}=\{Y\le{k}\wedge{Y}={X}\}, [/mm] kommt man auf [mm] P[X\le{k}]-P[Y\le{k}]=0 [/mm] und damit zur der zu zeigende Aussage. So würd ich es zumindest behaupten.
Gruß Kopfkirmes
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