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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 10.01.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Untersuche für (i)D= [mm] {\bruch{1}{n}|n \in \IN} [/mm] und (ii)D= [mm] {\bruch{1}{n}|n \in \IN}\cup [/mm] {0}, unter welchen Voraussetzungen eine gegebene Funktion
f: D [mm] \to \IR [/mm] stetig in D ist
tipp: Behauptung : Alle Funktionen stetig
- Ja [mm] \to [/mm] Beweis
- Nein [mm] \to [/mm] Gegenbeispiel [mm] \to [/mm] folgern welche funktionen stetig sind (Voraussetzungen) |
stetig in D heißt, dass die Funktion in jedem Punkt [mm] z_{0} [/mm] stetig ist
d.h. [mm] \forall \verepsilon \exists \delta \forall [/mm] z; [mm] |z-z_{0}|<\delta [/mm] :
[mm] |f(z)-f(z_{0}|<\varepsilon
[/mm]
Meine frage besteht im Finden des Gegenbeispiels für (ii).....
Meine Lösung...
(i)
für D= [mm] {\bruch{1}{n}|n \in \IN} [/mm]
Behauptung:
Jede Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] ist für D= [mm] {\bruch{1}{n}|n \in \IN} [/mm] stetig
Beweis: Sei [mm] z_{0}= \bruch [/mm] {1}{n} (damit währe jeder punkt von D abgedeckt)
Wähle [mm] \delta [/mm] = 0,25* [mm] |\bruch {1}{n}-\bruch [/mm] {1}{n+1}| > 0
Dann gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \vorall [/mm] z [mm] \in [/mm] D, [mm] |z-z_{0}|< \delta [/mm] : [mm] |f(z)-f(z_{0}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Die gilt weil im Intervall aus dem z gewählt wird z [mm] \in ]z_{0}-\delta, z_{0} +\delta [/mm] [sich gerade nur ein Element aus D befindet und zwar [mm] z_{0}.
[/mm]
d.h.
[mm] ]z_{0}-\delta, z_{0} +\delta [/mm] [ [mm] \cap [/mm] D = [mm] z_{0}
[/mm]
daraus folgt
f(z)=f(z{0})
[mm] \Rightarrow [/mm] |f(z)-f(z{0})|=0< [mm] \varepsilon [/mm]
Dies gilt da [mm] \varepsilon [/mm] >0.
_______________________________________
(ii)D= [mm] {\bruch{1}{n}|n \in \IN}\cup [/mm] {0},
Gegenbeispiel:
[mm] z\in [/mm] D
sei [mm] f(z)=\begin{cases} \bruch{1}{z}, & \mbox{für }z=\bruch{1}{n} \\ 0, & \mbox{für } z=0 \end{cases}
[/mm]
Behauptung f ist in 0 unstetig
d.h.
[mm] \exists \varepsilon>0 \forall \delta >0,|z-z_{0}|< \delta [/mm] : [mm] |f(z)-f(z_{0}| [/mm] > [mm] \varepsilon
[/mm]
Nun kommt mein Problem: ..... der Beweis...
Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}n
[/mm]
sie [mm] \delta [/mm] >0
Wähle .... ich glab ich habs! miene skizze war falsch (ups)..... bitte lest es dann korrektur.... 
Wählez [mm] \in ]z_{0},z_{0}+\delta[\overbrace{z_{0}=0}^{=} [/mm] ]o, [mm] \delta[
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0 [/mm] existiert ein solches z= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] in dem Intervall womit die Wahl möglich ist!
(Grenzwert: [mm] \vorall \varepsilon [/mm] (hier [mm] \delta) [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |\bruch{1}{n}-0|< \varepsilon [/mm] (hier [mm] \delta))
[/mm]
[mm] \rightarrow |f(z)-f(0)|>\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw |\bruch{1}{z}-0|>\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw|\bruch{1}{\bruch{1}{n}}|= [/mm] |n|=n > [mm] \varepsilon =\bruch{1}{2}n.
[/mm]
____________________________
noch zu berechnen ist die Einschränkung für f.
Behauptung f ist stetig, wenn [mm] f(\bruch{1}{n})\overrightarrow{n \to \infty} [/mm] f(0)
Begründung:
für [mm] z_{0} \not=0 [/mm] folgt aus (i) dass keine einschränkung von f für die Stetigkeit von f vorliegt.
Noch z.z.:
f ist in 0 stetig, wenn
[mm] f(\bruch{1}{n})\overrightarrow{n \to \infty} [/mm] f(0) gilt.
Nach dem Satz von ganz oben gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] D, [mm] |z-z_{0}|< \delta: |f(z)-f(z_{0})|< \varepsilon
[/mm]
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 , [mm] [red]|z-z_{0}|< \delta [/mm] [/red]:
[mm] |f(z=\bruch{1}{n})-f(0)|<\varepsilon
[/mm]
umformen des Roten:
[mm] |z-z_{0}|< \delta
[/mm]
[mm] z=\bruch{1}{n} [/mm] oder 0
wenn z =0 dann ist der betrag =0
sonst
[mm] z=\bruch{1}{n} [/mm] >0
[mm] \rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{1}{n}< \delta
[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{1}{\delta}< [/mm] n
wähle also das N für die Konvergenz der Folge mit N [mm] \ge \bruch{1}{\delta}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm]
[mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] konvergiert gegen f(0).
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Wenn die Funktion bei ii) stetig sein soll, dann muß ja [mm]\lim_{n \to \infty} f \left( \frac{1}{n} \right) = f \left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \right) = f(0)[/mm] gelten. Für ein Gegenbeispiel mußt du daher [mm]f(0)[/mm] nur so festlegen, daß diese Bedingung verletzt wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Do 11.01.2007 | | Autor: | CPH |
ok, danke!
mfg ch
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