stetigkeit/differenzierbarkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mi 28.01.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Betrachte die Zackenfunktion [mm] g:\IR \to \IR [/mm]
[mm] x\mapsto|x-[x+\bruch{1}{2}]| [/mm] ,
wobei die Gaussklammer [y] die groesste ganze Zahl kleiner oder gleich y bezeichnet.
Die Funktion g ist periodisch, g(x+1)=g(x) , sowie auf [mm] \IR \backslash \bruch{1}{2}\IZ [/mm] differenzierbar.
Bilde nun die Summe [mm] f(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}}g(2^{k}*x)
[/mm]
Zeige, dass [mm] f:\IR \to \IR [/mm] ueberall stetig aber nirgends differenzierbar ist.
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hallo liebe leute... hab keine ahnung was ich hier wie machen kann um das zu zeigen...HELFT MIR!!!...BITTE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mi 28.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Betrachte die Zackenfunktion [mm]g:\IR \to \IR[/mm]
> [mm]x\mapsto|x-[x+\bruch{1}{2}]|[/mm] ,
> wobei die Gaussklammer [y] die groesste ganze Zahl kleiner
> oder gleich y bezeichnet.
> Die Funktion g ist periodisch, g(x+1)=g(x) , sowie auf [mm]\IR \backslash \bruch{1}{2}\IZ[/mm]
> differenzierbar.
> Bilde nun die Summe [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}}g(2^{k}*x)[/mm]
Die einzelnen Summanden sind alles Zackenkurven.
[mm] \bruch{1}{2}g(2*x) [/mm] ist halb so hoch wie g(x), hat aber die Zacken doppelt so dicht.
[mm] \bruch{1}{2^2}g(2^2*x) [/mm] hat nur noch ein Viertel der Zackenhöhe von g(x), dafür sind sie viermal so dicht.
Die Summe von dem ganzen Zeug liefert eine Zackenlinie, auf deren ursprünglich geraden Linienstücken kleine Zacken wachsen und den ursrünglich geraden Linienstücken der kleinerer Zacken wachsen noch kleinere Zacken.....
Die Summe stetiger Zackenfunktionen ist stetig, aber die "Dichte" der Knickstellen wächst immer mehr, sodass es kein (noch so kleines) Intervall ohne Knickstellen gibt.
Gruß Abakus
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> Zeige, dass [mm]f:\IR \to \IR[/mm] ueberall stetig aber nirgends
> differenzierbar ist.
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> hallo liebe leute... hab keine ahnung was ich hier wie
> machen kann um das zu zeigen...HELFT MIR!!!...BITTE
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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