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Hallo !
In einem Internatartikel steht, dass Differenzierbarkeit bei [mm] x_{0} [/mm] Stetigkeit bei [mm] x_{0} [/mm] bedeutet, aber nicht umgekehrt.
Das versteh ich irgendwie nicht.. Kennt ihr eine Funktion die an [mm] x_{0} [/mm] stetig, aber nicht differenzierbar ist ??
Ach und da versteh ich auch nicht warum das so ist:
"Ist f(x) nur für ein Intervall definiert, so ist das Intervall, für das f'(x) definiert ist, immer ausschließend. Die Intervall-Grenzen sind nie im Intervall von f'(x) enthalten."
Wieso das denn nun ???
Danke für Eure Hilfe !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Sa 27.01.2007 | | Autor: | jogi |
f(x)=|x| ist in x=0 zwar stetig aber nicht differenzierbar.
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Danke ! Ersteres kapier ich jetzt.
Jetzt versteh ich nur noch nicht, warum eine Funktion, die in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist in [mm] x_{0} [/mm] auch immer stetig ist.
Und warum gilt:
"Ist f(x) nur für ein Intervall definiert, so ist das Intervall, für das f'(x) definiert ist, immer ausschließend. Die Intervall-Grenzen sind nie im Intervall von f'(x) enthalten."
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Historisch gesehen, war es ein großes Problem Tangenten zu bestimmen. Dieses Problem wurde durch die Idee des Differenzierens (Newton, Leibnitz) gelöst. Wenn eine Funktion differenzierbar ist, bedeutet das ja graphisch gesehen nichts anderes als, dass man in jedem Punkt eine Tangente an die Funktion legen kann, also die Funktion durch eine Gerade zu approximieren. Stetigkeit heißt ja grob gesagt, dass sich eine Funktion nur wenig ändert. Daher ist es klar, dass jede differenzierbare Funktion auch stetig ist (man kann sie ja durch lineare Funktionen in jedem Punkt approximieren). Wenn sich aber eine Funktion nur wenig ändert (also stetig ist) muss das noch lange noch nicht heißen, dass sie sich durch eine lineare Funktion in jedem Funkt approximieren lässt, wie die Funktion |x| sehr gut zeigt. Lg Manuel
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Ahh ! Vielen Dank für Deine Mühe !
Dann bleibt nur noch die letzte Frage:
Warum gilt:
"Ist f(x) nur für ein Intervall definiert, so ist das Intervall, für das f'(x) definiert ist, immer ausschließend. Die Intervall-Grenzen sind nie im Intervall von f'(x) enthalten."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 So 28.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Naja....stell dir mal einen Graphen vor, der an einer Stelle die Steigung Null hat.
Bis zu dieser Stelle sei die Funktion definiert. Diese Stelle sei a Anschließend tritt eine weitere Funktion ein, die oberhalb des vorherigen Graphen liegt (und evtl. auch sogar die Steigung 0 hat).
Jetzt stellst du dir den Differenzenquotienen für die Steigung der Tangente vor:
[mm] \bruch{f(a+h)-f(a)}{h}
[/mm]
Wenn du dich dann von links der Stelle a näherst, wo gerade das Ende des ersten Intervalles sei, so bekommst du die Steigung Null.
Näherst du dich von rechts, so liegt f(a+h) ja schon auf dem zweiten, höher liegendem Graphen. Wanderst du dann immer weiter nach links, um zum Ende des Intervalles zu kommen, so näherst du dich nicht der Steigung null sondern unendlich.
Da nun hier von links eine andere Steigung berechnet wird, als wenn du dich von rechts näherst, ist die Funktion nicht differenzierbar an der Intervallgrenze.
Ich weiß nicht, ob das als Begründung ausreicht, aber ist zumindest schonmal ein Beispiel, dass es so sein sollte.
Slaín,
Kroni
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Hm ok, danke !
Also du meinst z.B. die Funktion H(x), für die gilt:
H(x) = f(x) für x<=0 und g(x) für x>0. f(x) = 0 g(x) = 1
Dann ist f(0) = 0, aber f'(0) ist nicht definiert.
Allerdings gibt es doch auch Funktionen, bei der diese Intervallgrenzendefinition als Sicherheitsmaßnahme überflüssig ist, oder ?
Sagen wir s(x) ist gleich f(x)=2*x für x<=0 und g(x)=2*x für x>0
Dann ist doch sowohl f(0), als auch f'(0) definiert...
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Hi, Gosu,
> Hm ok, danke !
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> Also du meinst z.B. die Funktion H(x), für die gilt:
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> H(x) = f(x) für x<=0 und g(x) für x>0. f(x) = 0 g(x)
> = 1
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> Dann ist f(0) = 0, aber f'(0) ist nicht definiert.
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> Allerdings gibt es doch auch Funktionen, bei der diese
> Intervallgrenzendefinition als Sicherheitsmaßnahme
> überflüssig ist, oder ?
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> Sagen wir s(x) ist gleich f(x)=2*x für x<=0 und g(x)=2*x
> für x>0
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> Dann ist doch sowohl f(0), als auch f'(0) definiert...
Mit "Intervallgrenzen" ist das eher so gemeint:
Bsp.: f(x) = [mm] x^{2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0; [mm] +\infty[
[/mm]
Nun ist die Ableitung ja definiert durch den Grenzwert des Differenzenquotienten, und zwar VON LINKS UND VON RECHTS.
Beide müssen dann zum selben Ergebnis führen, wenn die Funktion differenzierbar sein soll.
In meinem Beispiel ist nun aber die Annäherung von links für x [mm] \to [/mm] 0 gar nicht möglich, weil die Funktion dort gar nicht definiert ist!
Im streng mathematischen Sinn kann sie dann eben auch nicht differenzierbar sein!
Die Naturwissenschaftler (speziell Physiker) nehmen das übrigens nicht ganz so genau und nehmen die Ableitung an einer solch "unproblematischen" Stelle wie hier einfach mit dazu.
Halt ich auch für durchaus sinnvoll!
Nur an "Stückelstellen" bei abschnittsweise definierten Funktionen wie Du sie vorher betrachtet hast, ist die Sache mit der Differenzierbarkeit ganz streng zu betrachten! Zunächst mal nimmt man diese Stellen raus und beweist ausführlich, ob Dbk. vorliegt oder nicht. Wenn sie dann allerdings mal auftritt (was eher selten vorkommt), dann kann man die Stelle nachträglich zu f' hinzunehmen - aber eben "nachträglich", weil ein zusätzlicher Beweisschritt nötig ist.
Etwas klarer geworden?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 So 28.01.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Jup, jetzt ist alles klar ;)
Thanks a lot an Alle !
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