stetigkeit der addition in R < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hey.. um eine frage aus der funktionalanalysis zu loesen, hab ich mir erstmal folgende, einfache frage gestellt.
wenn wir die reellen zahlen mit der betragsmetrik versehen, d.h.
[mm] d(x,y) = |x-y|[/mm]
ich moechte ich beweisen, dass die addition:
[mm]+ : \IR \times \IR \to \IR[/mm]
[mm](x,y) \mapsto x+y [/mm]
stetig ist. ich moechte dies mit der epsilon-delta technik zeigen.
weiß jemand, wie das geht?? ich naemlich nicht.. das problem liegt darin, dass ich ja fuer [mm]\IR \times \IR[/mm] die metrik der produkttopologie verwenden muesste? oder denk ich da zu kompliziert??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja du müsstest hier die Produktmetrik für IR² verwenden, z.B. die l-unendlich Norm bietet sich hier an, sind ja alle äquivalent. Du musst also Zeigen:
Konvergiert [mm] x_{n} [/mm] gegen x und [mm] y_{n} [/mm] gegen y bzw. [mm] (x_{n},y_{n}) [/mm] gegen (x,y) bzgl. der Norm dann konvergiert [mm] x_{n}+y_{n} [/mm] gegen x+y.
Dazu schätz du die Differenz ab:
[mm] lx_{n}-x+y-y_{n}l<=lx_{n}-xl+ly_{n}-yl
[/mm]
Das kannst du jetzt leicht abschätzen, da du die l-unendlich Norm verwendest.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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