stetigkeit (allgemeine frage) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Mi 11.01.2006 | | Autor: | AriR |
Frage wurde zuvor von mir in keinem anderen Forum gestellt!
Hey Leute eine "kurze" Frage :)..
die Def. der Stetigkeit ist:
f:D [mm] \to \IR
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x) = f(a) (und das für alle x [mm] \in [/mm] D)
und das heißt ja wiederum das für jede Folge [mm] x_{n} \in [/mm] D mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] = a, auch die Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = f(a)
Also kann es doch auch sein, dass die Funktion beliebig nah an den Wert
f(a) von links und rechts rankkommt, aber nie diesen Wert annimmt und dabei trotzdem noch stetig ist oder?? hoffe ich habe mich nicht zu unklar formuliert :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nun, der Wert $a$ gehört ja zum Definitionsbereich und die Funktion $f$ nimmt dort nach Definition den Wert $f(a)$ an. Es kann aber durchaus sein, dass dies die einzige Stelle ist, wo $f$ den Wert $f(a)$ annimmt, ja.
Es stimmt, was du sagt: Für jede Folge [mm] $(x_n)$, [/mm] mit der wir uns $a$ annähern, muss sich auch die Folge [mm] $(f(x_n))$ [/mm] dem Wert $f(a)$ annähern. Das muss auch für solche Folgen gelten, die $a$ selber nicht als Folgenglied enthalten (wie etwa [mm] $x_n [/mm] = a + [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] falls diese Folge im Definitionsbereich liegt).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 11.01.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal. nur nochmal als Zusammenfassung:
also wenn ich den fall habe, dass sich die Funktion von beiden seiten beliebig nah an einen Punkt f(a) nähert kann ich davon ausgehen, dass der Wert f(a) existiert, da a im Def. bereich von f liegt nach def. von stetigkeit?
und noch was vieleicht..
wenn man bei der def von stetigkeit sagt zB laut der Def.:
[mm] x_{n} \in [/mm] Def.Bereich der Funktion f und lim [mm] x_{n} [/mm] = a
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = f(a)
hat man da automatisch Folgen mit drin, die a nicht als folgenglied haben, weil wenn man nur folgen hätten die gegen a konvergierten, die a auch als folgenglied haben, könnte es ja vorkommen das man in der folge einen "großen Sprung" hätte.
zB: Angenommen wir hätten die floor funktion und es würden NUR folgen geben, die gegen 1 konvergieren, die auch die 1 als folgenglied haben (auch wenn es vieleicht nicht so ist) dann wäre die floor funktion ja im punkt 1 stetig. Von rechts ist sie ja stetig in der 1 und von links haben wir ja laut annahme nur funktionen, die die 1 auch als folgenglied haben.
Ich hoffe das ist verständlichen und einer kann mir eine antwort drauf geben. das wäre unheimlich nett... gruß ari
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Hallo ari,
> vielen dank schonmal. nur nochmal als Zusammenfassung:
>
> also wenn ich den fall habe, dass sich die Funktion von
> beiden seiten beliebig nah an einen Punkt f(a) nähert kann
> ich davon ausgehen, dass der Wert f(a) existiert, da a im
> Def. bereich von f liegt nach def. von stetigkeit?
Hier hab ich keine Ahnung was gemeint ist.
> und noch was vieleicht..
>
> wenn man bei der def von stetigkeit sagt zB laut der Def.:
> [mm]x_{n} \in[/mm] Def.Bereich der Funktion f und lim [mm]x_{n}[/mm] = a
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = f(a)
>
> hat man da automatisch Folgen mit drin, die a nicht als
> folgenglied haben, weil wenn man nur folgen hätten die
> gegen a konvergierten, die a auch als folgenglied haben,
> könnte es ja vorkommen das man in der folge einen "großen
> Sprung" hätte.
> zB: Angenommen wir hätten die floor funktion und es würden
> NUR folgen geben, die gegen 1 konvergieren, die auch die 1
> als folgenglied haben (auch wenn es vieleicht nicht so ist)
> dann wäre die floor funktion ja im punkt 1 stetig. Von
> rechts ist sie ja stetig in der 1 und von links haben wir
> ja laut annahme nur funktionen, die die 1 auch als
> folgenglied haben.
Nochmal zur Def. zurück. Für alle Folge [mm] (x_n) [/mm] die gegen a konvergieren muß [mm] f(x_n) [/mm] gegen f(a) konvergieren.
Falls die floor Funktion Abrunden war. Hätte ich 3 Folgen im Angebot
[mm] x_n=1-\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] f(x_n) [/mm] konvergiert zwar aber nicht gegen f(1)
[mm] x_n=1+\bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
[mm] f(x_n) [/mm] konvergiert erst gar nicht.
[mm] x_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1-\bruch{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
[mm] f(x_n) [/mm] konvergiert auch nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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