stetige zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Di 04.12.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen X in den folgenden Fällen:
a) X ist normalverteilt mit Mittelwert [mm] \mu [/mm] und Varianz [mm] \sigma
[/mm]
b) X [mm] \sim \Gamma_a,b [/mm] ,das heißt X besitzt die Dichte
[mm] p_{a,b} (x)=\bruch{1}{a^b \Gamma (b)} x^{b-1} e^{-\bruch{x}{a}} 1_{(0, \infty)} [/mm] (x) |
Soweit ich weiß muss man da das Integral des Produkts von Dichtefunktion und Verteilungsfunktion berechnen, um den Erwartungwert zu erhalten. Das habe ich versucht (für a):
[mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2\pi} \sigma}} e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}} \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{x}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}}} [/mm] dt dx
Dummerweise bekomme ich für das Integral mit t schon immer nur 0 raus. Ich habe das über Substitution mit [mm] y=t^{2} [/mm] versucht und dann zweimal partielle Integration angewandt. Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mi 05.12.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Eine Millionen Wähler müssen sich zwischen zwei Kandidaten A und B entscheiden. Eine Minderhet von tausend Wählern hat sich bereits für Knadidat A entschieden, die restlichen Wähler werfen eine (faire) Münze. Wie groß ist (approximativ) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Kandidat A die Wahl gewinnen wird? |
Mein Problem dabei ist dieses Approximativ, kann man das nicht genau berechen mit :
[mm] \summe_{i=1000}^{1000000} \vektor{1000000\\i} \bruch{1}{2}^{i} [/mm] ?
Ich weiß dass das wahrscheinlich kaum wirklich ausrechenbar ist, mir ist aber nicht klar, wie man da approximativ rangehen könnte.
Vielleicht kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Mi 05.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
> Mein Problem dabei ist dieses Approximativ, kann man das
> nicht genau berechen mit :
> [mm]\summe_{i=1000}^{1000000} \vektor{1000000\\i} \bruch{1}{2}^{i}[/mm]
> ?
Deinen Ansatz verstehe ich nicht. Ich verstehe die Aufgabe so, dass A gewinnt, wenn
mindestens die Haelfte der Waehler fuer ihn stimmen. Da das bereits 1000 Personen
getan haben, benoetigt er noch 499000 Ja-Stimmen. Bezeichnet X die Anzahl derjenigen,
die fuer A stimmen, so ist
[mm] $P(X\ge 499000)=\bruch{1}{2}^{1000000}\summe_{i=49000}^{1000000} \vektor{1000000\\i} [/mm] $
gesucht. Es gibt durchaus Software, die so etwas berechnen kann, z.B. R. Man erhaelt 0.9773. Nach dem Satz von de Moivre-Laplace, siehe
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Moivre-Laplace
erhaelt man alternativ
[mm] $P(X\ge 499000)\approx 1-\Phi\left(\frac{498999-1000000/2}{\sqrt{1000000/4}}\right)=0.9774$.
[/mm]
lg Luis
PS: Bitte stelle kuenftig unterschiedliche Fragen in unterschiedlichen Threads.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 Mi 05.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin jumape,
> Soweit ich weiß muss man da das Integral des Produkts von
> Dichtefunktion und Verteilungsfunktion berechnen, um den
> Erwartungwert zu erhalten.
Da irrst du dich aber gewaltig. Ist f die die Dichte der Verteilung, so ist
[mm] $\operatorname{E}[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx$.
[/mm]
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mi 05.12.2007 | | Autor: | jumape |
Danke für die Hilfe. Und ich werde mich an deine Bitte halten.
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