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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | X sei eine stetige Zufallsvariable mit Dichte
f(x)= [mm] \bruch{1}{2} e^{-|x|} [/mm] für x [mm] \in \IR
[/mm]
Berechne: P(1 [mm] \le [/mm] |X| [mm] \le [/mm] 2) und E(X)
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Hallo Mathematikgenies!
Damit ich P(1 [mm] \le [/mm] |X| [mm] \le [/mm] 2) berechnen kann, muss ich doch
[mm] \integral_{1}^{2} [/mm] { [mm] \bruch{1}{2} e^{-|x|} [/mm] dx} berechnen.
Meine erstes Problem ist, hier eine Stammfunktion zu finden, aber ich glaube es gibt dafür auch keine.
Weiters habe ich es so versucht:
Setze Y = |X|
dann ist P(1 [mm] \le [/mm] |X| [mm] \le [/mm] 2) = P(1 [mm] \le [/mm] Y [mm] \le [/mm] 2)
und dazu löse ich jetzt das Integral:
[mm] \integral_{1}^{2} [/mm] { [mm] \bruch{1}{2} e^{-y} [/mm] dy} = 0.1162
Darf man das einfach so setzen, enstehen da keine Fehler?
Zweiter Ansatz:
1 [mm] \le [/mm] |X| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] |X| [mm] \wedge [/mm] |X| [mm] \le [/mm] 2
1 [mm] \le [/mm] |X| [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] X [mm] \wedge [/mm] -1 [mm] \ge [/mm] X
|X| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] -2 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 2
Aus den beiden Ungleichungen folgt nun das alle reellen Zahlen sie erfüllen, oder?
Dann würde aber P(1 [mm] \le [/mm] |X| [mm] \le [/mm] 2) = 1 sein.
Die Berechnung des Erwartungswertes habe ich mir noch nicht überlegt.
Besten Dank für eure Hilfe!
Bis bald URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Ursus,
hm, ich glaube die Substitution Y:=|X| ist so wie du sie durchgeführt kommt mir auch etwas verdächtig vor. Da schleichen sich schnell Unsauberkeiten ein.
Ich empfehle eine Fallunterscheidung. Das ist, wenn Beträge auftauchen, eigentlich immer das Mittel der Wahl und sollte normalerweise bombensicher sein 
Also einmal [mm] X\ge0, [/mm] dann rechnest du
[mm] P(1\le X\le 2)=\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{2}e^{-x}dx}
[/mm]
In der Dichte kannst du die Betragsstriche weglassen,da du nur über positve x integrierst.
[mm] =\bruch{1}{2}(-e^{-2}-(-e^{-1}))=\bruch{1}{2}(e^{-1}-e^{-2})
[/mm]
2.Fall X<0,
[mm] P(1\le-X\le2)=P(-1\ge X\ge-2)=P(-2\le X\le-1)=\integral_{-2}^{-1}{\bruch{1}{2}e^{-|x|}dx}
[/mm]
Da du über neg. x intergrierst, löst du die Betragsstriche in der Dichte auf, indem du ein Minus vor das x setzt (kennst du ja wahrscheinlich), also
[mm] =\integral_{-2}^{-1}{\bruch{1}{2}e^{-(-x)}dx}=\integral_{-2}^{-1}{\bruch{1}{2}e^x dx}=\bruch{1}{2}(e^{-1}-e^{-2}).
[/mm]
Die beiden Fälle haben das gleiche Ergebnis. Das ist gut, sie lassen sich also zusammenfassen zu
[mm] P(1\le|X|\le2)=\bruch{1}{2}(e^{-1}-e^{-2})
[/mm]
Es kommt also genau dasselbe raus, wie bei deiner Substitution, allerdings ist die Fallunterscheidungsmethode hieb-und stichfest und brauch dir keine Sorgen (der Richtigkeit wegen) bereiten.
Beim Erwartungswert würde ich im Zweifel auch eine Fallunterscheidung durchführen, da fühlt man sich einfach sicherer. Ich mich jedenfalls
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Ursus |
Besten Dank für deine schnelle Hilfe!
Jetzt ist mir alles klar.
Lg URSUS
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