stetige Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 02.11.2013 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | | Zeige, dass alle Funktionen, die stetig sind und für die jede Folge [mm] x_{n} \subset \IR^{n} [/mm] mit ||x|| [mm] \to \infty [/mm] auch [mm] f(x_{n}) \to \infty [/mm] gilt, ein globales Minimum haben |
Hallo,
so vom Gedanken her hört sich die Aussage eigentlich logisch an, aber ich habe irgendwie keinen tollen Ansatz, um sie zu beweisen.
Kann mir jemand helfen?
Danke und lg,
petapahn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 02.11.2013 | | Autor: | hippias |
Versuche einen Satz von Weierstrass anzuwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Sa 02.11.2013 | | Autor: | petapahn |
Aber der Weierstraßsche Satz von Minimum und Maximum gilt ja nur für stetige Funktionen auf kompakten Mengen, aber diese hab ich ja nicht gegeben, da die Funktionswerte für divergente Folgen gegen unendlich gehen.
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> Aber der Weierstraßsche Satz von Minimum und Maximum gilt
> ja nur für stetige Funktionen auf kompakten Mengen, aber
> diese hab ich ja nicht gegeben, da die Funktionswerte für
> divergente Folgen gegen unendlich gehen.
Eigentlich brauchen wir ja hier gar keinen Satz
von Minimum und Maximum, sondern nur einen Satz
betreffend ein Minimum.
An der Aufgabenstellung ist zu kritisieren, dass
nichts über den Definitionsbereich der Funktion
vorausgesetzt wird.
Beispielsweise ist die Funktion $\ [mm] f:x\mapsto\ x^2-\frac{1}{x}$
[/mm]
auf ihrem gesamten Definitionsbereich $\ [mm] D_f\,\ [/mm] =\ [mm] \IR \smallsetminus \{0\}$ [/mm]
stetig und erfüllt die Voraussetzungen bezüglich
Limites - aber sie hat trotzdem kein Minimum, da
[mm] $\limes_{x\downarrow 0}f(x)\ [/mm] =\ [mm] -\infty$
[/mm]
Gemeint ist bestimmt, dass die Funktion f auf
ganz [mm] \IR [/mm] definiert und stetig sein soll.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 02.11.2013 | | Autor: | petapahn |
>
> Gemeint ist bestimmt, dass die Funktion f auf
> ganz [mm]\IR[/mm] definiert und stetig sein soll.
>
Die Funktion sollte wohl auf [mm] \IR^{n} [/mm] definiert sein, die Folgen sind ja [mm] \subset \IR^{n}. [/mm]
Wie sähe dann so ein Satz vom Minimum aus. Da kann man doch bzgl. Mengen keine Aussagen dazu treffen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 02.11.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Es gibt ein [mm] x_0 \in \IR^n [/mm] mit [mm] f(x_0)>0
[/mm]
und
2. Es gibt ein r>0 mit [mm] f(x)>f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in \IR^n [/mm] mit ||x||>r.
Nun betrachte die kompakte Menge [mm] K=\{x \in \IR^n: ||x|| \le r\}
[/mm]
Es ist [mm] x_0 \in [/mm] K
Jetzt mach Du weiter
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 02.11.2013 | | Autor: | petapahn |
Dann nimmt nach dem Satz von Maximum und Minimum die stetige Funktion f ein Minimum (das Maximum interessiert ja nicht) auf der kompakten Menge K an. Dies ist gleichzeitig ein globales Minimum, da [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n}\K [/mm] und [mm] \forall x_{1} \in [/mm] K gilt: $||x||> [mm] r\ge ||x_{0}|| \ge ||x_{1}|| \Rightarrow f(x)>f(x_{0}) \ge f(x_{1}) [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt ein [mm] x_{1} \in \IR^{n}, [/mm] sodass [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n}\backslash {x_{1}}: [/mm] f(x) [mm] \ge f(x_{1}) [/mm] $
[mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] ist globales Minimum von f.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 So 03.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Dann nimmt nach dem Satz von Maximum und Minimum die
> stetige Funktion f ein Minimum (das Maximum interessiert ja
> nicht) auf der kompakten Menge K an. Dies ist gleichzeitig
> ein globales Minimum, da [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^{n}\K[/mm] und
> [mm]\forall x_{1} \in[/mm] K gilt: [mm]||x||> r\ge ||x_{0}|| \ge ||x_{1}|| \Rightarrow f(x)>f(x_{0}) \ge f(x_{1})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt ein [mm]x_{1} \in \IR^{n},[/mm] sodass [mm]\forall x \in \IR^{n}\backslash {x_{1}}: f(x) \ge f(x_{1})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm] ist globales Minimum von f.
> Stimmt das so?
Nein.
Es gibt ein [mm] x_1 \in [/mm] K mit [mm] f(x_1) \le [/mm] f(x) für alle x [mm] \in [/mm] K.
Für x [mm] \notin [/mm] K gilt [mm] f(x_1) \le f(x_0) \le [/mm] f(x)
FRED
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> > Gemeint ist bestimmt, dass die Funktion f auf
> > ganz [mm]\IR[/mm] definiert und stetig sein soll.
> >
> Die Funktion sollte wohl auf [mm]\IR^{n}[/mm] definiert sein,
> die Folgen sind ja [mm]\subset \IR^{n}.[/mm]
Nun ja, mit den Bezeichnungsweisen in der Aufgabenstellung
| Aufgabe | Zeige, dass alle Funktionen, die stetig sind und für
die jede Folge $ [mm] x_{n} \subset \IR^{n} [/mm] $ mit ||x|| $ [mm] \to \infty [/mm] $ auch $ [mm] f(x_{n}) \to \infty [/mm] $ gilt,
ein globales Minimum haben |
hatte ich gleich von Anfang an etliche Mühe.
Wenigstens wird da die Variable n insofern
vergewaltigt, als sie gleichzeitig zwei ganz
unterschiedlichen Zwecken dienen soll.
Ferner kann eine Folge (ob du sie x oder [mm] x_n
[/mm]
nennen willst) keinesfalls eine Teilmenge eines
Raumes [mm] \IR^n [/mm] sein.
Bei dieser Situation sind Missverständnisse
eigentlich schon vorprogrammiert !
LG , Al-Chw.
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