stetige Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
| Aufgabe | Man beweise oder widerlege folgende Aussagen:
a) Es seien a, b [mm] \in \IR. [/mm] Jede injektive, stetige Funktion f : [a, b] [mm] \to \IR [/mm] ist streng monoton
wachsend oder streng monoton fallend.
b) Sei f : R [mm] \to [/mm] R eine stetige Funktion mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(n) = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(-n) = [mm] -\infty
[/mm]
Dann ist f surjektiv. |
Also ich finde keinen Ansatz dazu,
zu a würde ich zuerst einmal vorraus setzen f(b) > f(a)
aber weiter komme ich nicht kann mir einer helfen auf eine lösung zu kommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Dummy86,
zu a)
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Versuch es mal mit zwei Widerspruchsbeweisen:
(i) Sei $f$ stetig in $[a,b]$ und injektiv
$f$ injektiv: [mm] $\forall\,x,y\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $x\neq y:\quad f(x)\neq [/mm] f(y)$
Angenommen f ist nicht streng monoton wachsend, dann gilt:
[mm] $\exists x,y\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $x\neq y:\quad [/mm] f(x)=f(y)$
Dies ist jedoch ein Widerspruch dazu, dass $f$ injektiv ist. Also muss $f$ streng monoton wachsend sein.
Analog zeigt man: (ii) $f$ streng monoton fallend.
Insgesamt ergibt sich aus (i) und (ii) das, was Du zeigen solltest.
zu b)
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Irgendwie trivial.
Sei [mm] $y\in\IR$ [/mm] beliebig. Da $f$ stetig auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] ist und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f(n)=\infty$ [/mm] sowie [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f(-n)=-\infty$ [/mm] gilt, folgt unmittelbar:
[mm] $\exists\,x\in\IR:\quad [/mm] f(x)=y$
also die Behauptung.
P.S.: Den zweiten Teil kann man noch ein bisschen ausformulieren. Bildlich dürfte es jedoch klar sein, denn die Stetigkeit sagen mir in diesem Fall, dass sich der Graph "durchgehend zeichnen lässt". Die Limiten sagen mir, dass
y von [mm] "$-\infty$" [/mm] bishin zu [mm] "$\infty$" [/mm] vorkommt.
Falls noch Fragen sind. Schreib einfach.
Ciao
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
Ist alles eigentlich so zeimlich klar auch die b)muss ich bei der a) nicht auch bei (i) und (ii) nicht noch unterscheiden mit f(b) > f(a) und bei der (ii) f(a)> f(b)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 10.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
danke denny22, meine letzte frage hat sich auch erledigt
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