stetige Ergänzbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Es sei f: [mm] \IC \backslash{0} \to \IC, [/mm] mit [mm] f(z)=\bruch{Re(z)^2}{|z|^2}. [/mm] Ist f im Ursprung stetig ergänzbar? |
| Aufgabe 2 | | Es sei n [mm] \in \IN, [/mm] b [mm] \in \IR [/mm] und f: [mm] \IR\backslash [/mm] {b} [mm] \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{x^n-b^n}{x-b}. [/mm] Ist f im Punkt b stetig ergänzbar |
zu 1)
Sei z = x+iy, dann:
f(z) = [mm] \bruch{x^2}{x^2+y^2}
[/mm]
Wähle ich y = 0, also z = x, dann:
f(z) = [mm] \bruch{x^2}{x^2}=1
[/mm]
Wähle x=y>0 also z = x+ix, dann
f(z) = [mm] \bruch{x^2}{x^2+x^2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
An dieser Stelle weiß ->ich<- dass die Funktion nicht stetig ergänzbar im Punkte 0 ist, weil ich 2 verschiedene Teilfolgen habe die gegen einen unterschiedlichen Grenzwert laufen.
In einer ähnlichen Aufgabe, wurden dann 2 Folgen [mm] z_n [/mm] definiert, für die [mm] f(z_n) [/mm] gegen die beiden verschiedenen Grenzwerte konvergiert. Leider ist mir nicht klar wie man auf diese Folgen kommt
2)
Ich dachte mir auf [mm] x^n-b^n [/mm] kann man die Geometrische Summenformel anwenden, also
f(x) = [mm] \bruch{x^n-b^n}{x-b} [/mm] = [mm] \bruch{(x-b)\summe_{j=0}^{n-1}{x^{n-1-j}b^j}}{(x-b)} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n-1}{x^{n-1-j}b^j}
[/mm]
mit [mm] x\to [/mm] b
f(x) [mm] \to \summe_{j=0}^{n-1}{b^{n-1-j}b^j} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n-1}{b^{n-1}}
[/mm]
also konvergiert das ganze gegen den Wert der Summe. habe ich damit die stetige ergänzbarkeit gezeigt, oder war die idee mit der summenformel quatsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Do 29.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1
Du hast doch die Folgen fuer [mm] z_n [/mm] schon praktisch da stehen:
[mm] 1.z_n=1/n+0*i
[/mm]
[mm] 2.z_n=1/n+i*1/n
[/mm]
zu 2. Das ist richtig so.
Gruss leduart
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