stetig und differenzierbar? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag euch allen,
hier bin ich mal wieder mit einem weiteren Problem einer anderen Aufgabe.
Und zwar lautet sie hier...
Define: f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] by f(x,0)=0 and [mm] f(x,y)=(1-cos\bruch{x^2}{y}\wurzel{x^2+y^2}) [/mm] for [mm] y\not=0
[/mm]
1.
Laut Aufgabenstellung soll man hier zeigen, dass f in (0,0) differenzierbar ist.
Das heisst doch, dass ich in f für x und y jeweils 0 einsetzen muss?!
Definiert ist aber [mm] y\not=0.
[/mm]
Wie soll man das hier machen?
2. Man soll auch zeigen, dass f in (0,0) stetig ist. Aber auch hier das gleiche Problem.
Ein Tutor sagte mir dass die 2. also Stetigkeit ganz schnell gezeigt werden kann. Aber ich blick da nicht durch.
Vielen Dank fürs lesen!!!
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Hi!
Nur so als kleine Hilfe (hab jetzt nicht länger Zeit): f(0,0)=0. Das folgt aus dem ersten Teil der Definition f(x,0)=0. Bei der ableitung genauso. Damit und mit der Definition der Stetigkeit und Differenzierbarkeit müsste man das relativ leicht rauskriegen.
Viel Spaß und Erfolg.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Prinzessin83 |
Danke Sattelpunkt!
Ich weiß so viel, dass wenn es differenzierbar ist, ist es auch stetig, aber nicht umgekehrt. Richtig?
Das würde dann heissen, wenn ich einfach zeige dass f in (0,0) differenzierbar ist, dann kann man gleich folgern dass f da auch stetig ist ?
Wie gehe ich mit der Definition f(x,y) um, wenn ich das für (0,0) zeigen soll und bei f(x,y) die 0 für y ausgeschlossen wird?
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Hallo,
> Define: f: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] by f(x,0)=0 and
> [mm]f(x,y)=(1-cos\bruch{x^2}{y}\wurzel{x^2+y^2})[/mm] for [mm]y\not=0[/mm]
>
> 1.
> Laut Aufgabenstellung soll man hier zeigen, dass f in
> (0,0) differenzierbar ist.
> Das heisst doch, dass ich in f für x und y jeweils 0
> einsetzen muss?!
Vorsicht: Deine Funktion ist stückweise definiert, einmal für $y=0$ (da soll der Funktionswert 0 sein), und einmal für [mm] $y\not=0$. [/mm] Ich weiß nicht, wie ihr Differenzierbarkeit definiert habt, aber eine Möglichkeit ist: f ist differenzierbar in (0,0), wenn es eine Matrix A gibt, sodass:
[mm] \limes_{(x,y) \to (0,0)} \bruch{|| f(0+x, 0+y)-f(0,0)-A \cdot (x,y) ||}{|| (x,y) ||} = \limes_{(x,y) \to (0,0)} \bruch{|| f(x,y)-A \cdot (x,y) ||}{|| (x,y) ||} = 0 [/mm]
Kannst du damit etwas anfangen?
(Ich sehe spontan keinen einfacheren Weg, die Differenzierbarkeit zu zeigen, aber das muss nichts heißen, da ich selbst noch lerne...)
> 2. Man soll auch zeigen, dass f in (0,0) stetig ist. Aber
> auch hier das gleiche Problem.
Es gilt ja nach deiner obigen Definition f(0,0)=0. Wenn du den x-Wert ein klein wenig veränderst, bleibt der Funktionswert gleich, denn es gilt ja auch f(x,0)=0 für alle x. Kritisch wird es, wenn du den y-Wert ein klein wenig veränderst, da du dann ja eine ganz andere Formel zur Ermittlung des Funktionswertes benutzt. (Das war jetzt sehr anschaulich gesprochen.)
Wenn du aber zeigen kannst, dass [mm] \limes_{y \to 0} f(0,y) = f(0,0) [/mm] gilt, hast du damit bereits die Stetigkeit gezeigt.
Viel Erfolg,
- Marcel
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Hallo Marcel,
danke für die Erläuterungen.
Ich mache mal zunächst das für die Stetigkeit, weil es mir doch viel viel einfacher erscheint.
Zu zeigen habe ich ja wie du sagtest, dass
[mm] \limes_{y \to 0} [/mm] f(0,y) = f(0,0)
gilt.
Da x=0 und y gegen unendlich geht ist der Ausdruck [mm] \bruch{x^2}{y}=0
[/mm]
Und cos(0)=1
Dann habe ich:
[mm] \limes_{y \to 0} f(0,y)=(1-1\wurzel{x^2+y^2})
[/mm]
[mm] \limes_{y \to 0} f(0,y)=(1-cos\bruch{x^2}{y}\wurzel{0+y^2})
[/mm]
=0
Richtig so? Wobei wenn [mm] y^2 [/mm] gegen unendlich geht, dann müsste es 1 sein, dass 0 gilt ?!
Was die Differenzierbarkeit anbetrifft, hat unser Prof auch mit Matrizen gearbeitet, aber das ist bei ihm so abstrakt...
Du bist auf
$ [mm] \limes_{(x,y) \to (0,0)} \bruch{|| f(0+x, 0+y)-f(0,0)-A \cdot (x,y) ||}{|| (x,y) ||} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y) \to (0,0)} \bruch{|| f(x,y)-A \cdot (x,y) ||}{|| (x,y) ||} [/mm] = 0 $
gekommen.
Mir ist unklar wie ist dieses Gleichung löse bzw. wie man die Matrix A sucht.
Aber danke für deine Mühe!!!
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Hallo,
> Da x=0 und y gegen unendlich geht ist der Ausdruck
> [mm]\bruch{x^2}{y}=0[/mm]
> Und cos(0)=1
> Dann habe ich:
> [mm]\limes_{y \to 0} f(0,y)=(1-1\wurzel{x^2+y^2})[/mm]
> [mm]\limes_{y \to 0} f(0,y)=(1-cos\bruch{x^2}{y}\wurzel{0+y^2})[/mm]
>
> =0
Ähm, Moment. Erstens geht y gegen Null, nicht gegen unendlich! Zweitens: Im Cosinus steht nur [mm]\bruch{x^2}{y}[/mm]? Dann erhalte ich wegen cos(0)=1 und [mm]\wurzel{0+y^2} = y \to 0[/mm] aber [mm]\limes_{y \to 0} f(0,y)=1-cos\bruch{x^2}{y}\wurzel{x^2+y^2}=1-1 \cdot 0 =1[/mm] ...
Ich hoffe, dass ich hier nicht irgendwas Dummes übersehe, aber könntest du nochmal einen genauen Blick in die Aufgabenstellung bzw. auf die Definition der Funktion werfen?
> Was die Differenzierbarkeit anbetrifft, hat unser Prof auch
> mit Matrizen gearbeitet, aber das ist bei ihm so
> abstrakt...
Habt ihr es denn ähnlich definiert, wie ich es aufgeschrieben habe? Vielleicht verwendet ihr ja auch eine etwas andere Schreibweise.
Mit weiteren Kommentaren halte ich mich erstmal zurück wg. der Unklarheit bzgl. der Funktion ...
- Marcel
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Hallo Marcel,
danke nochmal für den Hinweis.
Blöder Fehler y gegen unendlich streben zu lassen. Wahrscheinlich aus Gewohnheit...
Ich habe die Funktion nochmal angeschaut, aber sie steht echt genau so da:
[mm] f(x,y)=(1-cos\bruch{x^2}{y})\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Ich habe sie zwar anfangs so angegeben
[mm] f(x,y)=(1-cos\bruch{x^2}{y}\wurzel{x^2+y^2})
[/mm]
aber das macht ja keinen Unterschied hier?!
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Hallo,
Also die Klammerung macht schon einen sehr großen Unterschied. So gilt jetzt einfach:
[mm] \limes_{y \to 0} f(0,y) = \limes_{y \to 0} (1-\underbrace{\cos 0}_{=1}) \cdot y = 0 [/mm]
- Marcel
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Hallo Marcel,
danke dir nochmal!
Hier hat man ja aber nur y gegen 0 gehen lassen. Für die Stetigkeit im [mm] \IR^2 [/mm] muss man ja x und y gleichzeitig gegen null gehen lassen, dass der Grenzwert f(0,0) ist.
Oder irre ich mich?
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Hallo,
> Hier hat man ja aber nur y gegen 0 gehen lassen. Für die
> Stetigkeit im [mm]\IR^2[/mm] muss man ja x und y gleichzeitig gegen
> null gehen lassen, dass der Grenzwert f(0,0) ist.
> Oder irre ich mich?
Nein, im Prinzip irrst du dich nicht, aber in diesem konkreten Fall muss man sich diese Mühe gar nicht machen -- man kann ja einfach sofort x=0 setzen, ohne dass das irgendwelche Probleme mit sich bringt! (Das liegt m.E. daran, dass die Funktion sicher in allen [mm] $x\in\IR$ [/mm] stetig ist, wenn du y als eine - beliebige - Konstante auffasst.)
Bei y ist es deshalb problematisch, weil die Funktion für y=0 durch einen anderen Ausdruck definiert ist als für y!=0, deshalb überprüft man hierfür den Limes.
Viele Grüße,
- Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mo 30.05.2005 | | Autor: | QCO |
Also ich ich verwende jetzt mal "unsere" Definition von Stetigkeit; damit klappt die Rechnung gut und ist auch nicht schwer.
f ist stetig in [mm] x_{0}, [/mm] gdw. [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0 ex., s.d. | f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x mit d(x, [mm] x_{0}) [/mm] < [mm] \delta(\varepsilon).
[/mm]
Da keine andere Metrik gegeben ist, verwenden wir die Euklidische ( [mm] d((x_{1},x_{2}), (y_{1}, y_{2}))=\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} [/mm] ).
Sei jetzt [mm] \varepsilon [/mm] gegeben. [mm] f(x_{0} [/mm] = f(0,0) = 0.
Dann ist | f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | = | [mm] (1-cos(\bruch{x^{2}}{y}))*\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] | < | [mm] 2*\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] weil | [mm] cos(\bruch{x^{2}}{y}) [/mm] | [mm] \le [/mm] 1.
[mm] 2*\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] ist aber auch = 2*d((x,y),(0,0)).
Also ist | [mm] f(x)-f(x_{0} [/mm] | < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x mit d((x,y),(0,0)) < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}.
[/mm]
Damit ist f in [mm] x_{0}=(0,0) [/mm] stetig.
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Hallo QCO,
selbst wäre ich so nie drauf gekommen. Aber den "Umweg" über die Metrik müsste man nicht gehen?!
Und zur 2. Aufgabe wegen der Differenzierbarkeit habe ich einen Tipp bekommen.
Man soll zwei folgen raus suchen die gegen 0 gehen, aber verschiedene Differentialquotienten haben. Was meint man damit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Prinzessin!
In der Aufgabenstellung heißt es:
> Define: f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] by f(x,0)=0 and [mm] f(x,y)=(1-cos\bruch{x^2}{y}\wurzel{x^2+y^2}) [/mm] for [mm] y\not=0 [/mm]
Angeblich handelt es sich also um eine Funktion nach [mm] $\IR^2$, [/mm] deine Funktion geht aber nur nach [mm] $\IR$. [/mm] Weiterhin ist mir unklar, ob die Funktion
$f(x,y) = 1 - [mm] \cos \left[ \bruch{x^2}{y}\wurzel{x^2+y^2}\right]$
[/mm]
oder etwa
$f(x,y) = 1 - [mm] \left[ \cos \left( \bruch{x^2}{y} \right) \right] \cdot \wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
heißt.
In jedem Fall müsstest du, um die Nicht-Differenzierbarkeit zu zeigen, zwei Folgen
[mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] und [mm] $(x_n',y_n')$
[/mm]
mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (x_n,y_n) [/mm] = (0,0) = [mm] \lim\limits_{n \to \infty}(x_n',y_n')$
[/mm]
finden, so dass
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n,y_n)-f(0,0)}{\sqrt{x_n^2+y_n^2}} \ne \lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n',y_n')-f(0,0)}{\sqrt{x_n'^2+y_n'^2}}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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