stetig partiell differenzierba < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:R^2->R [/mm] gegeben durch:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0) \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie dass f differenzierbar ist, aber in (0,0) nicht stetig partiell differenzierbar. |
Hi, wäre nett, wenn Ihr mich bei dieser Aufgabe unterstützen würdet:
Meine bisherigen Überlegungen sind:
Für [mm] x\not=(0,0) [/mm] gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=2ysin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})
[/mm]
Für x=(0,0) gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=0
[/mm]
Ist es ausreichend für Differenzierbarkeit zusätzlich noch zu zeigen:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)-\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}=0
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \bruch{(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})}{\wurzel{x^2y^2}}=0
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0, [/mm] da [mm] \wurzel{x^2+y^2}\to0
[/mm]
Ist das soweit korrekt? Doch wie zeige ist jetzt das f nicht stetig partiell diffbar ist?
LG Susi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mi 27.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:R^2->R[/mm] gegeben durch:
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie dass f differenzierbar ist, aber in (0,0) nicht
> stetig partiell differenzierbar.
> Hi, wäre nett, wenn Ihr mich bei dieser Aufgabe
> unterstützen würdet:
>
> Meine bisherigen Überlegungen sind:
>
> Für [mm]x\not=(0,0)[/mm] gilt:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=2ysin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})[/mm]
Soweit O.K.
>
> Für x=(0,0) gilt:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=0[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=0[/mm]
Auch das ist richtig, Du solltest aber noch erzählen , warum diese Ableitungen =0 sind.
>
> Ist es ausreichend für Differenzierbarkeit zusätzlich
> noch zu zeigen:
Das Folgende musst(!) Du zeigen, wenn Du zeigen willst , dass f in (0,0) differenzierbar ist.
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)-\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \bruch{(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})}{\wurzel{x^2y^2}}=0[/mm]
Hier hast Du Dich verschrieben. Im Nenner sollte [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] stehen.
>
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0,[/mm]
> da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to0[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Ja schon , aber die Begründung " da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to 0[/mm] " reicht nicht.
> Doch wie zeige ist jetzt das f
> nicht stetig partiell diffbar ist?
Zeige: die partiellen Ableitungen [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] sind in (0,0) nicht stetig.
FRED
>
> LG Susi
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> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0,[/mm]
> > da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to0[/mm]
> >
> > Ist das soweit korrekt?
>
>
> Ja schon , aber die Begründung " da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to 0[/mm]
> " reicht nicht.
>
Schade, dass es nicht ausreicht, da muss ich dann wohl mit Polarkoordinaten ran, oder?
Mit [mm] x=rcos(\phi) [/mm] und [mm] y=rsin(\phi) [/mm] ergibt sich dann nach ein paar kleinen Umformungen und der Tatsache, dass [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] ist:
[mm] \limes_{r\rightarrow 0} [/mm] r*sin(1/r)=0
>
>
>
>
> > Doch wie zeige ist jetzt das f
> > nicht stetig partiell diffbar ist?
>
> Zeige: die partiellen Ableitungen [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] sind in (0,0)
> nicht stetig.
D.h. ich muss nur noch zeigen dass z.B.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] der partiellen Ableitungen
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] mit (1/n,1/n) ungleich 0 ist, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Do 28.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0,[/mm]
> > > da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to0[/mm]
> > >
> > > Ist das soweit korrekt?
> >
> >
> > Ja schon , aber die Begründung " da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to 0[/mm]
> > " reicht nicht.
> >
>
> Schade, dass es nicht ausreicht, da muss ich dann wohl mit
> Polarkoordinaten ran, oder?
>
> Mit [mm]x=rcos(\phi)[/mm] und [mm]y=rsin(\phi)[/mm] ergibt sich dann nach ein
> paar kleinen Umformungen und der Tatsache, dass
> [mm]sin^2+cos^2=1[/mm] ist:
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow 0}[/mm] r*sin(1/r)=0
Und warum ist dieser Grenzwert =0 ?
Es geht auch ohne Polarkoordinaten, denn [mm] $|\sin(blabla)| \le [/mm] 1$ für jedes blabla.
>
> >
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> >
> >
> > > Doch wie zeige ist jetzt das f
> > > nicht stetig partiell diffbar ist?
> >
> > Zeige: die partiellen Ableitungen [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] sind in (0,0)
> > nicht stetig.
>
> D.h. ich muss nur noch zeigen dass z.B.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] der partiellen Ableitungen
> [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] mit (1/n,1/n) ungleich 0 ist, oder?
Ja, finde eine Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] mit [mm] (x_n,y_n) \to [/mm] (0,0) derart, dass entweder [mm] (f_x(x_n,y_n)) [/mm] keine Nullfolge ist oder [mm] (f_y(x_n,y_n)) [/mm] keine Nullfolge ist.
Ob ( (1/n,1/n)) das Gewünschte leistet , solltest Du ausprobieren, wenn nicht , so suche weiter.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Do 28.04.2016 | | Autor: | nightsusi |
DANKE für die schnelle Hilfe!
Beim Durchrrechnen hab ich dann doch lieber [mm] \bruch{\wurzel{2}}{n} [/mm] genommen, damit sich das im Nenner schöner zusammenfassen lässt. 
Einen schönen Tag noch!
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