stet Verteilung gleichverteilu < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mi 03.06.2015 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | | Es sei $X$ eine Zufallsvariable mit der stetigen Verteilungsfunktion $F$. Zeigen Sie, dass $F(X)$ dann gleichverteilt ist auf dem Intervall $[0,1]$, d.h. [mm] $P(F(X)\leq \lambda)=\lambda$ [/mm] für alle [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1]$. |
Guten Abend zusammen,
ich bearbeite zur Zeit die oben stehende Aufgabe, stehe aber irgendwie auf dem Schlauch.
Für $F$ gilt ja $F : [mm] \mathbb{R}\to[0,1],\, [/mm] F$ monoton steigend, $F$ (rechts)steig, [mm] $\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\,\lim_{x\to\infty}F(x)=1$.
[/mm]
Für [mm] $\lambda=1$ [/mm] is obige Gleichung ja klar. Denn dann gilt [mm] $P(F(X)\leq1)=1$, [/mm] da [mm] $F(X)\leq [/mm] 1$ für alle [mm] $x\in \mathbb{R}$.
[/mm]
Außerdem gilt ja noch [mm] $F(X)(\omega)=P(X\leq\omega)$ [/mm] und damit wäre ja
[mm] $$P(F(X)\leq\lambda)=P(\{\omega\in\Omega\,|\,F(X)(\omega)\leq \lambda\})=P(\{\omega\in\Omega\,|\,P(X\leq\omega)\leq\lambda\})$$
[/mm]
Ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen.
Vielen Dank schon mal. Liebe Grüße
DerBaum
|
|
| |
|
Hiho,
> Außerdem gilt ja noch [mm]F(X)(\omega)=P(X\leq\omega)[/mm]
nein, und da liegt dein Denkfehler.
Es sollte auch nicht [mm] $F(X)(\omega)$ [/mm] heißen.
Du hast eine Verteilungsfunktion F(x) und statt des Arguments [mm] $x\in\IR$ [/mm] steckst du nun die Zufallsvariable [mm] $X:\Omega\to \IR$ [/mm] rein.
X selbst wird an der Stelle [mm] \omega [/mm] ausgewertet, d.h. du hast [mm] $F\left(X(\omega)\right)$
[/mm]
Und demzufolge ist [mm] $F(X(\omega)) [/mm] = P(X [mm] \le X(\omega))$.
[/mm]
Danach ist ja aber glücklicherweise gar nicht gefragt, sondern nach $P(F(X) [mm] \le \lambda)$
[/mm]
Geh der Einfachheit halber erst mal davon aus, dass F(x) streng monoton wachsend ist, dann kannst du ohne Probleme [mm] $F^{-1}$ [/mm] bilden.
Dann bekommst du eine Idee, wie es läuft.
Ist F(x) nur monoton, kann man zumindest noch das ![[]](/images/popup.gif) Quantil bilden, das ist aber letztendlich das gleich.
Sauber aufschreiben, fertig.
Gruß,
Gono
|
|
|
|
