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| Aufgabe | Beweise mithilfe der sereographischen Projektion:
M [mm] \subseteq \IC \cup \{\infty\} [/mm] ist kompakt [mm] \gdw [/mm] M (in [mm] \IC \cup \{\infty\}) [/mm] abgeschlaoosen |
so mein Beweis:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] M kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] M abgeschlossen und beschränkt
[mm] "\Leftarrow" \pi: S^2 [/mm] -> [mm] \IC \cup \{\infty\} [/mm] , nach Voraussetzung [mm] S^2 [/mm] und [mm] \IC \cup \{\infty\} [/mm] kompakt
M abgeschlossen
-> [mm] \pi^-1(M) [/mm] ex., da [mm] \pi [/mm] ein Homöomorphismus,
[mm] \pi^-1(M) \subset S^2 [/mm] abgeschlossen in [mm] S^2 [/mm] , da [mm] \pi^-1 [/mm] homöomorph
-> [mm] \pi^-1(M)\subset S^2 [/mm] kompakt als abgeschlossene teilmenge eines kompakten raumes
da [mm] \pi [/mm] homöomorph -> M kompakt
stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Fr 30.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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