matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Steckbriefaufgaben > steckbriefaufgabe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Steckbriefaufgaben" - steckbriefaufgabe
steckbriefaufgabe < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Steckbriefaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

steckbriefaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Sa 22.10.2005
Autor: darth_sausage

hallo,
ich habe ein problem mit folgender aufgabe:

eine parabel 3. ordnung hat im ursprung einen tiefpunkt. sie schliesst im 1. quadranten mit der x-achse eine fläche von 36 fe ein und berührt die gerade mit der gleichung g (x)= 3x

ich habe folgenden ansatz gefunden:

f(x)= [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm]
I f(0)= 0 -> d= 0                       -> [mm] f(x)=ax^3+bx^2 [/mm]
II f'(0)= 0 -> c=0                       -> f'(x)= [mm] 3ax^3+2bx [/mm]
III f'(0)=3                                      g(x)= 3x
IV f(x)= g(x)                                  [mm] (x_{b}/ y_{b}) [/mm] sei der berührpunkt

III [mm] 3ax_{b}^2+2bx_{b}=3 [/mm]
IV [mm] ax_{b}^3+bx_{b}^2= [/mm] 3x
V [mm] \integral_{0}^{ \bruch{-b}{a}} [/mm] {f(x) dx}= 36

ich weiss, dass ich nun mit hilfe der linearen gleichungssysteme a und b berechnen muss, komme aber leider zu keinem ergebnis.
die tatsache, dass die gesuchten variablen noch mit einem x mit hochzahl verbunden ist, iritiert mich und ich suche dringend jemanden, der mir das weitere vorgehen erklärt.
danke schon mal im vorraus für jede antwort

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
steckbriefaufgabe: weitere Schritte (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Sa 22.10.2005
Autor: Loddar

Hallo darth_sausage,

[willkommenmr] !!


Mann-o-mann ... da hast Du Dir aber echt einen Kracher "ausgesucht" !


> I f(0)= 0 -> d= 0                  -> [mm]f(x)=ax^3+bx^2[/mm]
> II f'(0)= 0 -> c=0                  -> f'(x)= [mm]3ax^3+2bx[/mm]
> III f'(0)=3                                 g(x)= 3x
> IV f(x)= g(x)                             [mm](x_{b}/ y_{b})[/mm]
> sei der berührpunkt
>  
> III [mm]3ax_{b}^2+2bx_{b}=3[/mm]
> IV [mm]ax_{b}^3+bx_{b}^2=[/mm] 3x
> V [mm]\integral_{0}^{ \bruch{-b}{a}}[/mm] {f(x) dx}= 36

[ok] Deine Ansätze sind fast alle richtig [applaus] !!

Lediglich die Bedingung [III] (obere Version) stimmt nicht, da im Ursprung durch den Tiefpunkt eine horizontale Steigung vorgegeben ist.

Die Steigung mit der Geraden [mm] $\blue{g(x) \ = \ 3x}$ [/mm] berücksichtigst Du ja richtig durch Bedingung [mm] $\blue{3a*x_b^2+2b*x_b=3}$ [/mm] .


Wir ergänzen noch etwas: aus dem Tiefpunkt im Ursprung wissen wir auch:

$f''(0) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$    [mm] $\gdw$ [/mm]   $6a*0 + 2b \ > \ 0$   [mm] $\gdw$ [/mm]   $b \ > \ 0$

(das benötigen wir für die Vereinfachung für später ...)

Aus Bedingung [V] mit dem Integral erhalten wir:
V' : [mm] $b^4 [/mm] \ = \ [mm] -432*a^3$ $\Rightarrow$ [/mm]   $b \ = \ [mm] \red{+} 2*\wurzel[4]{-27a^3}$ [/mm]


Für Gleichung [IV] können wir voraussetzen, dass $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ , da hier offensichtlich nicht der gesuchte Berührpunkt vorliegen kann.

Damit wird:

IV' : [mm] $a*x_b^2 [/mm] + [mm] b*x_b [/mm] \ = \ 3$


Gemeinsam mit Gleichung [III] kann man nun die Berührstelle [mm] $x_b$ [/mm] ermitteln: [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{-\bruch{3}{a}}$. [/mm]

Dies setzen wir ein in [IV'] und erhalten dann:

$b \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ 6 * [mm] \wurzel{-\bruch{a}{3}}$ [/mm]


Gemeinsam mit [V'] können wir nun $a_$ und $b_$ ermitteln ...


Hier mal eine Skizze:

[Dateianhang nicht öffentlich]


Ich hoffe, Du konntest meinem Schweinsgalopp hier folgen ;-) ...

Gruß
Loddar

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
steckbriefaufgabe: wirklich alles richtig?!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Sa 22.10.2005
Autor: Disap

Hallo Loddar
>
> > I f(0)= 0 -> d= 0                       -> [mm]f(x)=ax^3+bx^2[/mm]
>  > II f'(0)= 0 -> c=0                       -> f'(x)=

> [mm]3ax^3+2bx[/mm]
>  > III f'(0)=3                                      g(x)=

> 3x

> [ok] Deine Ansätze sind alle richtig [applaus] !!

Ich finde Bedingung III widerspricht Bedingung II.

II f'(0)= 0
III f'(0)=3

Das wuerde doch übersetzt bedeuten, an der Stelle x= 0 ist einmal die Steigung 0 und einmal die Steigung 3.

Oder was beisst mich da?

Liebe Gruesse Disap
Bezug
                        
Bezug
steckbriefaufgabe: Ups ... Du hast Recht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 Sa 22.10.2005
Autor: Loddar

Hallo Disap!


Da hast Du völlig Recht! Das war mir entgangen, da er diese "Steigungsbedingung" danach nochmals richtig formuliert ...


Ich werde es gleich ändern! Danke für den Hinweis.


Gruß
Loddar

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Steckbriefaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]