stationäre Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle stationören Punkte der folgenden Funktion und klassifizieren Sie diese:
f(x,y) = xy + x - 2y - 2 |
Gegebene Lösung: Nabla f(x,y) = (y+1,x-2)
Hesse-Matrix H(x,y)= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \forall [/mm] x,y
NB: Nabla f =!= 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x = 2, y = -1) ist stationär
HB: Definitheit von H(2,-1) = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \to [/mm] indefinit : Sattelpunkt.
Meine Frage: Es ist überhaupt nicht erklärt, warum H(x,y) indefinit ist.
Def. indefinit: A heißt indefinit, wenn es Vektoren v, w [mm] \in \IR^{N} [/mm] gibt, sodass
<Av,v> < 0 und <Aw,w> > 0.
Ich habe gefunden: [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\vektor{1 \\1} \vektor{1 \\ 1} [/mm] = 2
und [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\vektor{1 \\-1} \vektor{1 \\ -1} [/mm] = -2
Muss ich da zum Nachweis so lange suchen, bis ich solche zwei Vektoren gefunden habe, oder wie ist die Indefinitheit erkennbar/nachweisbar?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mo 13.01.2025 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie alle stationören Punkte der folgenden
> Funktion und klassifizieren Sie diese:
> f(x,y) = xy + x - 2y - 2
> Gegebene Lösung: Nabla f(x,y) = (y+1,x-2)
> Hesse-Matrix H(x,y)= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \forall[/mm] x,y
>
> NB: Nabla f =!= 0 [mm]\Rightarrow[/mm] (x = 2, y = -1) ist
> stationär
> HB: Definitheit von H(2,-1) = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] indefinit : Sattelpunkt.
>
> Meine Frage: Es ist überhaupt nicht erklärt, warum H(x,y)
> indefinit ist.
>
>
> Def. indefinit: A heißt indefinit, wenn es Vektoren v, w
> [mm]\in \IR^{N}[/mm] gibt, sodass
> <Av,v> < 0 und <Aw,w> > 0.
>
> Ich habe gefunden: [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\vektor{1 \\1} \vektor{1 \\ 1}[/mm]
> = 2
> und [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\vektor{1 \\-1} \vektor{1 \\ -1}[/mm]
> = -2
>
> Muss ich da zum Nachweis so lange suchen, bis ich solche
> zwei Vektoren gefunden habe, oder wie ist die Indefinitheit
> erkennbar/nachweisbar?
Es gilt:
eine symmetrische Matrix ist genau dann indefinit, wenn sie einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt.
Gruß Fred
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:44 Do 16.01.2025 | | Autor: | Mathemurmel |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle stationören Punkte der folgenden Funktion und klassifizieren Sie diese:
f(x,y) = xy + x - 2y - 2 |
Vielen Dank für deine Antwort, Fred! Eigenwerte sind in der Vorlesung (Analysis) jedoch nicht behandelt worden.
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle stationären Punkte der folgenden Funktion und klassifizieren Sie diese:
f(x,y) = xy + x - 2y - 2 |
Die zu dieser Thematik gegebenen Lösungen (ohne nähere Erläuterung) legen folgende Vermutung nahe :
Sind Diagonalmatrizen indefinit, wenn die Diagonalelemente verschiedene Vorzeichen haben?
Ist diese Vermutung richtig?
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> Berechnen Sie alle stationären Punkte der folgenden
> Funktion und klassifizieren Sie diese:
> f(x,y) = xy + x - 2y - 2
> Die zu dieser Thematik gegebenen Lösungen (ohne nähere
> Erläuterung) legen folgende Vermutung nahe :
> Sind Diagonalmatrizen indefinit, wenn die Diagonalelemente
> verschiedene Vorzeichen haben?
>
> Ist diese Vermutung richtig?
>
Hallo,
eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante <0 ist (denn, um den Kontext zu Freds Antwort herzustellen, die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte). Daraus folgt deine Vermutung als Spezialfall.
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Hiho,
> Sind Diagonalmatrizen indefinit, wenn die Diagonalelemente verschiedene Vorzeichen haben?
Beweise diesen Satz doch mal anhand deiner Definition!
Ist ja nun nicht so schwer… Tipp: Betrachte Vektoren, wo nur eine Komponente ungleich Null ist.
Gruß,
Gono
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