stark stetige Halbgruppen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei T eine stark stetige Halbgruppe auf einem Banachraum X mit Generator (A,D(A)). Zeige, dass für [mm] x,y\in [/mm] X die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) [mm] x\in [/mm] D(A)
(ii) für jedes [mm] t\geq0 [/mm] gilt
[mm] \integral_0^{t}{T(s)yds}=T(t)x-x [/mm] |
Hallo zusammen,
mein Lösungsansatz:
[mm] (i)\Rightarrow(ii) [/mm] Sei [mm] x\in [/mm] D(A) und Ax=y. Dann ist
[mm] \integral_{0}^t{T(s)Axds}=T(t)x-x \overset{Ax=y}{\gdw}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x
[/mm]
[mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii)
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} \subseteq [/mm] D(A) mit der Eigenschaft [mm] x_n\rightarrow [/mm] x und [mm] Ax_n\rightarrow [/mm] y in X. Dann ist
[mm] T(t)x_n-x_n=\integral_{0}^t{T(s)Ax_nds}
[/mm]
Da [mm] T(t)\in [/mm] B(X), konvergiert die linke Seite für [mm] n\rightarrow \inftiy [/mm] gegen T(t)x-x in X. Da [mm] \underset{\sigma\in[0,t]}{sup} ||T(\sigma)Ax_n-T(\sigma)y|| \leq Me^{|\omega|t}||Ax_n-y||
[/mm]
konvergiert die Folge der stetigen FUnktionen [mm] T()Ax_n [/mm] gleichmässig auf [0,t] gegen die Funktion T()y und somit
[mm] \integral_{0}^t{T(s)x_nds}=\integral_{0}^t{T(s)yds}
[/mm]
Es folgt, dass
[mm] \integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x
[/mm]
[mm] (ii)\Rightarrow [/mm] (i)
Es sei
[mm] \integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x
[/mm]
Durch Division durch [mm] t\geq [/mm] 0 ergibt
[mm] \bruch{T(t)-Id}{t}x=\bruch{1}{t}\integral_{0}^t{T(s)yds}\rightarrow [/mm] T(0)y=0
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] D(A) und Ax=y
Stimmt das? Danke im voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:38 Mo 14.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Sei T eine stark stetige Halbgruppe auf einem Banachraum X
> mit Generator (A,D(A)). Zeige, dass für [mm]x,y\in[/mm] X die
> folgenden Aussagen äquivalent sind.
>
> (i) [mm]x\in[/mm] D(A)
> (ii) für jedes [mm]t\geq0[/mm] gilt
>
> [mm]\integral_0^{t}{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]
Hmm ..., wie hängen denn x und y zusammen ???
> Hallo zusammen,
>
> mein Lösungsansatz:
>
> [mm](i)\Rightarrow(ii)[/mm] Sei [mm]x\in[/mm] D(A) und Ax=y. Dann ist
>
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)Axds}=T(t)x-x \overset{Ax=y}{\gdw}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]
>
> [mm](i)\Rightarrow[/mm] (ii)
>
> Sei [mm](x_n)_{n\in\IN} \subseteq[/mm] D(A) mit der Eigenschaft
> [mm]x_n\rightarrow[/mm] x und [mm]Ax_n\rightarrow[/mm] y in X. Dann ist
>
> [mm]T(t)x_n-x_n=\integral_{0}^t{T(s)Ax_nds}[/mm]
>
> Da [mm]T(t)\in[/mm] B(X), konvergiert die linke Seite für
> [mm]n\rightarrow \inftiy[/mm] gegen T(t)x-x in X. Da
> [mm]\underset{\sigma\in[0,t]}{sup} ||T(\sigma)Ax_n-T(\sigma)y|| \leq Me^{|\omega|t}||Ax_n-y||[/mm]
>
> konvergiert die Folge der stetigen FUnktionen [mm]T()Ax_n[/mm]
> gleichmässig auf [0,t] gegen die Funktion T()y und somit
>
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)x_nds}=\integral_{0}^t{T(s)yds}[/mm]
>
> Es folgt, dass
>
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]
>
>
> [mm](ii)\Rightarrow[/mm] (i)
>
> Es sei
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]
>
> Durch Division durch [mm]t\geq[/mm] 0 ergibt
>
> [mm]\bruch{T(t)-Id}{t}x=\bruch{1}{t}\integral_{0}^t{T(s)yds}\rightarrow[/mm]
> T(0)y=0
>
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] D(A) und Ax=y
>
> Stimmt das? Danke im voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 15.05.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
