stammfunktion eines bruches < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 28.05.2005 | | Autor: | basdian |
hallo!
erstmal vielen dank an alle, fuer die freundlichen antworten auf meine letzten fragen!!
mein naechstes problem ist, wie man die stammfunktion zu dieser funktion bildet:
f(x)= [mm] \bruch{(2x-1)²}{4x²-1}
[/mm]
die stammfunktion zu f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ja F(x)=ln lxl [lxl=betrag x)
wenn nun bei meiner funktion ueber dem bruchstrich eine 1 stuende waere die stammfunktion: F(x)=ln l(4x²-1)l , oder?
was mache ich nun mit dem ueberm bruchstrich koennte es sein, dass die stammfunktion von:
f(x)= [mm] \bruch{(2x-1)²}{4x²-1}
[/mm]
F(x)= [mm] (\bruch{4}{3}x³-2x²+x) \* [/mm] [ln l(4x²-1)l ] ist?
danke schonmal!
viele gruesse von bastian
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Hallo Bastian!
> mein naechstes problem ist, wie man die stammfunktion zu
> dieser funktion bildet:
>
> [mm]f\left(x\right) = \bruch{\left(2x-1\right)^2}{4x^2-1}[/mm]
Hier kann man zunächst kürzen:
[m]\frac{{\left( {2x - 1} \right)^2 }}
{{4x^2 - 1}}\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{3te binomische Formel}} \\
{\text{auf Nenner anwenden}}
\end{subarray}} \frac{{\left( {2x - 1} \right)^2 }}
{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2x - 1}}
{{2x + 1}} = \frac{{2x}}
{{2x + 1}} - \frac{1}
{{2x + 1}}[/m]
Jetzt wenden wir die Polynomdivision auf [m]\frac{{2x}}{{2x + 1}}[/m] an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit erhalten wir: [m]\frac{{2x}}
{{2x + 1}} - \frac{1}
{{2x + 1}} = 1 - \frac{1}
{{2x + 1}} - \frac{1}
{{2x + 1}} = 1 - \frac{2}
{{2x + 1}}[/m]
Jetzt erst lohnt es sich zu integrieren, weil es einem nun leichter fällt:
[m]\int {\left( {1 - \frac{2}
{{2x + 1}}} \right)} dx\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Substitution mit}} \\
x\left( t \right): = \frac{k}
{2};x'\left( t \right) = \frac{1}
{2}
\end{subarray}} \frac{1}
{2}\int {\left( {1 - \frac{2}
{{k + 1}}} \right)} dk = \frac{1}
{2}\left( {k - 2\ln \left( {k + 1} \right)} \right)\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Rücksubstitution:}} \\
k = 2x
\end{subarray}} \frac{1}
{2}\left( {2x - 2\ln \left( {2x + 1} \right)} \right) = x - \ln \left( {2x + 1} \right)[/m]
Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Polynomdivision