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die spur einer linearen abbildung F:V->V wird durch [mm] Sp(f)=\summe_{i=1}^{n} a_{ii} [/mm] definiert wobei [mm] (a_{ij})=M_{Z}(F) [/mm] die nxn-Matrixdarstellung von F bezüglich einer Basis Z von V ist (n=dimV).
man beweise, dass Sp(F) wohldefiniert ist, d.h. nicht von der Wahl der basis A abhängt.
als hinweis habe ich noch bekommen, dass man zunächste zeigen soll, dass dfür zwei matrizen die beziehung gilt: Sp(AB)=Sp(BA). dann soll ich transformationsformel unter basiswechsel benutzt werden.
ich habe weder eine ahnung, wie ich das benutzen soll, noch eine vorstellung, dass mir das evtl weiterhelfen könnte bzw wie es mir weiterhelfen könnte.
danke im voraus
greetz
dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> die spur einer linearen abbildung F:V->V wird durch
> [mm]Sp(f)=\summe_{i=1}^{n} a_{ii}[/mm] definiert wobei
> [mm](a_{ij})=M_{Z}(F)[/mm] die nxn-Matrixdarstellung von F bezüglich
> einer Basis Z von V ist (n=dimV).
> man beweise, dass Sp(F) wohldefiniert ist, d.h. nicht von
> der Wahl der basis A abhängt.
> als hinweis habe ich noch bekommen, dass man zunächste
> zeigen soll, dass dfür zwei matrizen die beziehung gilt:
> Sp(AB)=Sp(BA). dann soll ich transformationsformel unter
> basiswechsel benutzt werden.
>
> ich habe weder eine ahnung, wie ich das benutzen soll, noch
> eine vorstellung, dass mir das evtl weiterhelfen könnte bzw
> wie es mir weiterhelfen könnte.
Also was Spur macht ist dir klar, oder? Das summiert einfach alle Diagonalelemente deiner Matrix auf.
Wir zeigen zunächst Spur(AB)=Spur(BA):
[mm]Spur (AB) = Spur \left( \left( \summe_{j=1}^{n} {a_{ij} b_{j,k} \right)_{1\le i,k \le n \right)[/mm]
[mm]= \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} \left(a_{ij} b_{ji} \right) = \summe_{j=1}^{n} \summe_{i=1}^{n} \left(b_{ji} a_{ij} \right) = Spur (BA)[/mm]
Jetzt zum zweiten Teil: Wir wollen die Wohldefiniertheit zeigen. Ist T also die Matrix des Basiswechsels von Basis [mm] $\cal{B}$1 [/mm] zu [mm] $\cal{B}$2 [/mm] und A die darstellende Matrix zu Basis [mm] $\cal{B}$1, [/mm] und B die Darstellende Matrix zu Basis [mm] $\cal{B}$2.
[/mm]
Dann gilt: B = [mm] TAT^{-1}
[/mm]
Es folgt: [mm]Spur (B) = Spur (TAT^{-1}) =\* \, \, Spur( TT^{-1} A) = Spur (E_n A) = Spur (A) [/mm]
Wegen $Spur(AB) = Spur (BA)$ können wir bei * vertauschen.
Damit ist die Spur einer Abbildung wohldefiniert, weil es egal ist, in welcher Basis ich die Abbildung als Matrix darstelle, ich erhalte immer das gleiche Ergebnis!
Gruß Micha 
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