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| Aufgabe | +r+ soll den abstand von r [mm] \in \IR [/mm] zur nächstgelegenen ganzen zahl bezeichnen, g(x) sei definiert durch g(x) = [mm] \bruch{{+10^{n}\*x+}}{10^{n}} [/mm] , x [mm] \in \IR.
[/mm]
a) zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} g_{n} [/mm] (x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] absolut konvergiert.
b) zeige, dass die funktionen [mm] g_{n} [/mm] (x) für alle n [mm] \in \IN [/mm] stetig sind.
c) sei f(x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} g_{n} [/mm] (x) , x [mm] \in [/mm] [0,1]. Zeige, dass f in keinem Punkt differnzierbar ist. |
zuerst kurz zur funktion. falls sie etwas unklar ist.
z.b. ist für n = 1 und x = 1 g(x) = 0,1 da der abstand von 10 zu einer nächstgelegenen ganzen zahl 1 ist.
zu a) was ich an werkzeug hätte wären die Reihen Kriteren wie hier würd ich evtl quotienten anwenden. Müsste ich da was beachten da da steht für alle x? also zusätzlich was zeigen?
zu b) mithilfe von vollst. Induktion wahrscheinlich, oder? mal sehen obs klappen kann.
zu c) ehrlich gesagt keine Idee. habe noch nie eine Reihe auf Diffbarkeit überprüft bzw es widerlegt.
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hi,
a) hab ich jetzt denke ich
hat vlt trotzdem jemand was zur b oder c?
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> Noch interessiert an Antwort^^>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:16 So 15.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Evelyn,
nur mal als Idee (ich habe es nicht durchgerechnet) zu b) würde ich mal versuchen, eine Art "betragsfreie Darstellung" der Funktion [mm] +\cdot+ [/mm] zu finden. Dann kann man vielleicht die Stetigkeit zeigen. Bevor ich meinen Vorschlag unterbreite, eine Frage: Ich hatte "Abstand zur nächsten ganzen Zahl" so interpretiert, dass eine bereits ganze Zahl zu sich selbst die Nächste ist, also (Beispiel) +3+=0 und nicht 1. Das würde allerdings mit deinem Beispiel von [mm] g_1(0,1)=1 [/mm] kollidieren, da es nach meinem Verständniss Null wäre. Falls es tatsächlich 1 ist, mußt du das Folgende etwas abändern, ich gehe jetzt mal von meiner Interpretation aus.
EDIT: Ich denke wirklich, dass muss [mm] g_1(0,1)=0 [/mm] heissen, sonst würde ja der Abstand von sehr klein zb +0.01+=0.01 auf +0+=1 "springen", das würde sich mit der Stetigkeit nicht gut vertragen.
[mm] +r+=\begin{cases} r-k, & \mbox{für } k\le r\le k+0,5 \\ k+1-r, & \mbox{für } k+0,5
Kontrollier das mal nach.
Stetigkeitsprobleme können dann nur an den Abschnittsgrenzen auftreten. Da mußt du dann mal untersuchen. Wenn man die Stetigkeit von [mm] +\cdot+ [/mm] hat, ist [mm] g_n, [/mm] als Komposition und Quotient stetiger Fkt, stetig.
zu c) hab ich mir noch keine Gedanken gemacht.
Lg walde
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huhu
erstma vielen dank für deine Antwort^^ inzwischen hab ich b und a "gelöst" denke ich. Und ja der abstand einer ganzen zahl zur nächsten ist nach meinem tutor wirklich 0 und nicht 1 ( man verzeihe mir meine Interpretation, man kann sich dabei aber wirklich vertun^^)
jetzt fehlt mir echt nur noch c weil ich nicht weiß wie ich da das nachweisen kann mit ner reihe .. :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du mal den Differentialquotienten hingeschrieben, etwa für x<0.5 da ist x entsprechend für x>0 mitg=1-x
[mm] g_n(x)=x
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 So 15.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi leduart,
> Hallo
> hast du mal den Differentialquotienten hingeschrieben,
> etwa für x<0.5 da ist x entsprechend für x>0 mitg=1-x
> [mm]g_n(x)=x[/mm]
Es ist doch erstmal nur [mm] g_0(x)=x [/mm] , oder? zB. x=0,1274
[mm] g_0(0,1274)=0,1274 [/mm]
[mm] g_1(0,1274)=\bruch{+1,274+}{10}=\bruch{0,274}{10}
[/mm]
[mm] g_2(0,1274)=\bruch{+12,74+}{100}=\bruch{0,26}{100}
[/mm]
usw.
Ich weiß aber jetzt auch noch nicht, wie man die Aufgabe löst.
> Gruss leduart
LG walde
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hmm ja hast recht, ist trotzdem zu schwer für mich das mit ner Reihe anzuwenden. ich kann ja schlecht so nen Diff qúotienten machen:
[mm] \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} g_{n} (x) - \summe_{n=0}^{\infty} g_{n} (x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 So 15.01.2012 | | Autor: | Walde |
Ok, hier mein Rantasten ans Problem:
Ansatz ist [mm] \bruch{f(x_0+h_k)-f(x_0)}{h_k} [/mm] mit
[mm] h_k:=\bruch{1}{10^{k+1}} [/mm] die Nullfolge, die zu [mm] x_0 [/mm] in der k+1-ten Nachkommastelle eine 1 dazu addiert.
Ich gehe erstmal davon aus, dass [mm] x_0<0,5 [/mm] dergestalt ist, dass man immer noch +r+=r-k für geeignete k annehmen kann (Definition von +r+ von mir siehe oben), auch wenn man zu den Stellen 1 dazu addiert. Dass man also zu keiner Zeit später den Funktionsabschnitt wechseln muß, weil man über die Ziffer 5 rausgekommen ist. D.h. keine Nachkommastelle über 4. Ich weiß, dass ist erstmal nicht schön. Ich mußte erstmal bisschen vereinfachen, um ein Gefühl für die Funktion zu bekommen.
Betrachte [mm] f(x_0+h_k) [/mm] für ein festes k. Die Veränderung in der k+1-ten Nachkommastelle bewirkt für die ersten k (also n=0 bis n=k-1) Glieder von [mm] f(x_0+h_k)=\summe_{n=0}^{\infty}g_n(x_0+h_k), [/mm] dass sich [mm] g_n(x_0+h_k)=\bruch{+10^n(x_0+h_k)+}{10^n} [/mm] gegenüber [mm] g_n(x_0) [/mm] gerade um [mm] h_k [/mm] ändert. Für n<k. Das wird durch die Forderung an [mm] x_0 [/mm] (s.o.) bewirkt. Was passiert, wenn sich eine Ziffer der Nachkommastelle durch die Addition auf 6 oder mehr vergrössert, überlegen wir mal später, ich schätze, man muß [mm] h_k [/mm] etwas abwandeln.
D.h. dann hätten wir [mm] g_n(x_0+h_k)=g_n(x_0)+h_k [/mm] für n<k. Ich mußte mir da mal ein Beispiel machen mit [mm] x_0=0,\overline{1} [/mm] sonst hätte ich das nicht gesehen. Dann ist:
[mm] f(x_0+h_k)-f(x_0)=\summe_{n=0}^{\infty}g_n(x_0+h_k)-\summe_{n=0}^{\infty}g_n(x_0)=\summe_{n=0}^{k-1}g_n(x_0+h_k)+\summe_{n=k}^{\infty}g_n(x_0+h_k)-(\summe_{n=0}^{k-1}g_n(x_0)+\summe_{n=k}^{\infty}g_n(x_0))=k*h_k [/mm] und der Differenzenquoient geht für [mm] k\to\infty [/mm] gegen unendlich.
Checks mal durch, ich hoffe es stimmt soweit. Vielleicht kannst du drauf aufbauen, um die anderen Fälle für [mm] x_0 [/mm] abzudecken. Ich brauch erstmal ne Pause ;)
Edit: copy paste Fehler mit k im Summenzeichen korrigiert
LG walde
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woah hey^^
ich schaus mir jetzt mal in Ruhe an. Jedenfalls vielen lieben Dank für deine Mühe!
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