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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:40 Mo 26.05.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | Betrachten sie die parametrisierte Matrix:
[mm] A(\gamma)=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & \gamma }
[/mm]
mit reellem Parameter [mm] \gamma [/mm] > 1.Bestimmen sie den Parameter so,dass die spektrale
Konditionszahl von A minimiert wird. |
hallo
Die spektrale Konditionszahl ist [mm] ||A||*||A||^{-1},wobei [/mm] mit || || die spektrale Kondition,
also die Wurzel des größten Eigenwertes von [mm] A*A^{t}-was [/mm] bei symmetrischen Matrizen
dem größten Eigenwert von A entspricht-gemeint ist.(hoffe das ist richtig soweit).
Hab jetzt also erstmal [mm] A^{-1} [/mm] berechnet [mm] =\pmat{ 1-\bruch{1}{1-\gamma} & \bruch{1}{1-\gamma} \\ \bruch{1}{1-\gamma} & \bruch{-1}{1-\gamma} }
[/mm]
sollte richtig sein wenn ich mich nicht verschrieben hab.
Jetzt habe ich die charakteristischen Polynome berechnet:
[mm] P_{A}=(\lambda -1)*(\lambda -\gamma)-1
[/mm]
[mm] =(\lamba^{2}-(\gamma+1))*\lambda *\gamma [/mm] +1
[mm] \Rightarrow \lambda_{1,2}=\bruch{\gamma +1}{2} \pm \wurzel{(\gamma +1)^{2}-(\gamma +1)}
[/mm]
[mm] P_{A^{-1}}=\lambda^{2}-\lambda-\bruch{1}{1-\gamma}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1,2}=\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{1-\gamma}}
[/mm]
Sollte im Grunde genommen richtig sein soweit,darum geht's eigentlich auch nicht.
Um jetzt rauszufinden wo die spektrale Konditionszahl am kleinsten ist müßte ich,denke ich,
jetzt [mm] \lambda_{1}*\lambda_{3},\lambda_{1}*\lambda_{4};\lambda_{2}*\lambda_{3},\lambda_{2}*\lambda_{4} [/mm] berechnen,gucken wo sie jeweils Betragsmäßig am kleinsten sind,und davon halt den kleinsten Wert.
Meine Frage ist jetzt:Wie mache letzteres? bzw.gibt es eine bessere Möglichkeit an die Aufgabe heranzugehen?
gruß lennart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mi 28.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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