sinxcosx integrieren! < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 So 05.10.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{|sinx|cosnx dx} [/mm] |
Hallo,
ich bin gerade bei Fourierreihen und stoße dann auf folgendes Integral was ich nicht lösen kann. Im Skriptum wird folgendes angegeben:
[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{|sinx|cosnx dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sinxcosnx dx} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x+\pi)cosn(x+\pi) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sinxcosnx dx} [/mm] für n gerade
Ich verstehe nicht, wie man das Integral aufteilt und dann nur noch von [mm] 0bis\pi [/mm] Integriert! Zuerst dachte ich wegen dem - an partielle Integration aber das ist wohl falsch! Ausserdem verstehe ich nicht was mit dem Betrag passiert ist und woher das [mm] (x+\pi) [/mm] kommt! Könnt ihr mir bitte ein bisschen helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
[mm] $\int_0^{2\pi}|\sin x|\cos [/mm] nx\ dx= [mm] \int_0^\pi|\sin x|\cos [/mm] nx\ dx + [mm] \int_\pi^{2\pi}|\sin x|\cos [/mm] nx\ dx$ sollte klar sein.
Für [mm] $x\in[0,\pi] [/mm] ist [mm]\sin x\ge 0[/mm], also kann man die Betragsstriche im Integranden des ersten Summanden weglassen. Für [mm] $x\in[\pi,2\pi]$ [/mm] ist [mm]|sin x|=-\sin x[/mm], also haben wir:
$= [mm] \int_0^\pi\sin x\cos [/mm] nx\ dx [mm] \red{+} \int_\pi^{2\pi}\sin x\cos [/mm] nx\ dx$
Jetzt substituieren wir im zweiten Integral [mm] $z=x-\pi$, [/mm] dadurchen ändern sich die Integralgrenzen und im Integranden entstehen die Terme [mm] $z+\pi$, [/mm] also hat man:
$= [mm] \int_0^\pi\sin x\cos [/mm] nx\ dx + [mm] \int_{\pi-\pi}^{2\pi-\pi}\sin z+\pi\cos n(z+\pi)\ [/mm] dz= [mm] \int_0^\pi\sin x\cos [/mm] nx\ dx + [mm] \int_0^\pi\sin z+\pi\cos n(z+\pi)\ [/mm] dz$
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 05.10.2008 | | Autor: | tobe |
Hi,
ich glaube du hasst in der letzten Zeile ein Minus vergessen und Klammern beim 2. Integral. Müsste das nicht heissen:
$ = [mm] \int_0^\pi\sin x\cos [/mm] nx\ dx - [mm] \int_{\pi-\pi}^{2\pi-\pi}\sin (z+\pi)\cos n(z+\pi)\ [/mm] dz= [mm] \int_0^\pi\sin x\cos [/mm] nx\ dx - [mm] \int_0^\pi\sin (z+\pi)\cos n(z+\pi)\ [/mm] dz $
Und was mich dann noch interessieren würde ist wie mein Prof auf folgendes kommt:
[mm] $\bruch{1}{\pi}\int_0^\pi\sin x\cos [/mm] nx\ dx - [mm] \bruch{1}{\pi}\int_0^\pi\sin (z+\pi)\cos n(z+\pi)\ [/mm] dz $ = [mm] \bruch{2}{\pi}\int_0^\pi\sin [/mm] x cosnx dx für n=gerade und = 0 für n =ungerade
Edit: Warum für n=ungerade das ganze 0 wird ist mir nun klar. Da ich dann immer sinx*ncosx habe und bei allen ungerade n sind sinus und kosinus entgegengesetzt und heben sich somit auf oder?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hi,
> ich glaube du hasst in der letzten Zeile ein Minus
> vergessen und Klammern beim 2. Integral. Müsste das nicht
> heissen:
>
> [mm]= \int_0^\pi\sin x\cos nx\ dx - \int_{\pi-\pi}^{2\pi-\pi}\sin (z+\pi)\cos n(z+\pi)\ dz= \int_0^\pi\sin x\cos nx\ dx \red{+} \int_0^\pi\sin (z+\pi)\cos n(z+\pi)\ dz[/mm]
Ja das mit den Klammern stimmt, war aber auch so gemeint wie du es jetzt geschrieben hast. Aber am Ende steht da schon ein $+$ zwischen den Integralen, da man im zweiten Integranden ja [mm] $|\sin x|=-\sin [/mm] x$ hat, hab ich vorhin in dem Schritt vergessen hinzuschreiben.
Zu dem Rest... hab ich grad keine Ahnung 
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 05.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Und was mich dann noch interessieren würde ist wie mein
> Prof auf folgendes kommt:
>
> [mm]\bruch{1}{\pi}\int_0^\pi\sin x\cos nx\ dx - \bruch{1}{\pi}\int_0^\pi\sin (z+\pi)\cos n(z+\pi)\ dz[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{\pi}\int_0^\pi\sin[/mm] x cosnx dx für n=gerade und
> = 0 für n =ungerade
>
> Edit: Warum für n=ungerade das ganze 0 wird ist mir nun
> klar. Da ich dann immer sinx*ncosx habe und bei allen
> ungerade n sind sinus und kosinus entgegengesetzt und heben
> sich somit auf oder?
so wie dus formulierst ists falsch! aber fuer ungerade n ist cosnx Punktsymetrisch zu [mm] \pi/2 [/mm] sinx sym. d.h. das Integral von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] und das von [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi [/mm] sind entgegengesetzt gleich, also von 0 bis [mm] \pi [/mm] insgesamt 0.
Gruss leduart
|
|
|
|
